形式陈述

若 $M$$M$ 是定向光滑 $n$$n$ 维带边界流形，$\omega$$\omega$ 是紧支撑的 $(n-1)$$(n-1)$ 形式，则

$$ \int_M d\omega=\int_{\partial M}\omega, $$$${\int }_{M}d\omega ={\int }_{\partial M}\omega ,$$

边界采用“外法向优先”诱导定向。若 $M$$M$ 紧致，可省去紧支撑条件。非定向流形、角点或低正则对象需要相应推广，积分收敛和定向条件不可省略。

直觉

区域内部的总变化等于边界上的净流出；不同维度的基本微积分定理只是同一公式的实例。

例子与边界

区间上得到微积分基本定理，平面区域上得到 Green 定理，三维中包含经典 Stokes 与散度定理。若 $\partial M=\varnothing$$\partial M=\varnothing$，恰当顶次形式积分为零。边界方向取反会使右侧符号改变。

推论与应用

Stokes 定理连接局部微分与整体积分，是几何、拓扑、PDE 和物理守恒定律的核心桥梁。

参考资料

• John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd ed., Springer, 2013，Chs. 1–16。
• Michael Spivak, Calculus on Manifolds, W. A. Benjamin, 1965，Chs. 1–5。