流形上的 Stokes 定理

Stokes 定理说一个区域内部的“微分总量”完全由边界上的原量决定。外微分把局部变化编码成高一维形式，边界定向则确保相邻小块内部边界成对抵消，只留下真正外边界。它是基本微积分定理、Green 公式、旋度定理与散度定理的共同坐标无关来源。

区间上得到微积分基本定理，平面区域上得到 Green 定理，三维中包含经典 Stokes 定理。对 Euclidean 区域取体积形式 $\omega$，向量场 $F$ 满足 $d({\iota }_F\omega )=(\mathrm{div}F)\omega$；代入本定理就得到散度定理公理库散度定理Divergence theorem · Gauss theorem · Gauss–Ostrogradsky theorem区域内部散度的体积分等于其边界上向外法向通量的积分。，把体内散度积分化为向外边界通量。这个特例仍需要边界正则性与诱导定向，不能只凭坐标公式省略条件。若 $\partial M=\varnothing$，恰当顶次形式积分为零。边界方向取反会使右侧符号改变。

对定向区间 $[a,b]$ 和零形式 $f$，Stokes 退化为

在平面区域上取一形式 $Pdx+Qdy$ 得到 Green 公式。若交换流形定向，内部与诱导边界定向同时变号，等式仍保持。非紧流形上通常要求形式具有紧支撑，或另给足够的积分收敛条件。

定向流形公理库流形定向Orientation of a manifold对各切空间一致选择正向基等价类的结构。上的微分形式公理库微分形式Differential form在每点切空间上光滑变化的交替多线性协变量场。经外微分公理库外微分Exterior derivative把 k 形式映为 k+1 形式且满足 d²=0 与分次 Leibniz 规则的算子。满足边界积分公式。$d^2=0$ 与 Stokes 说明恰当形式在闭循环上积分为零，进而连接de Rham 上同调公理库上同调Cohomology对链复形取到系数群的同态形成上链复形，再取上同调得到反变不变量。。PDE 中的弱形式、物理守恒律、积分变换和 Gauss–Bonnet 的局部到整体推导都依赖这种内部抵消机制。