外微分

外微分把函数的微分、向量分析中的 curl/divergence 型操作统一为唯一的分次导子。它同时满足 Leibniz 符号规则、与拉回交换以及 $d^2=0$；最后一条是“边界的边界为空”在微分形式一侧的对应。局部坐标公式含偏导，但结果与坐标选择无关。

在 ${\mathbb{R}}^2$，若 $\omega =Pdx+Qdy$，则 $d\omega =({\partial }_{x}Q-{\partial }_{y}P)dx\wedge dy$。$d(df)=0$ 对应混合偏导抵消。圆周上的角形式局部恰当但全局可能不恰当，显示拓扑障碍。

取 $\omega =xdy$，则 $d\omega =dx\wedge dy$，所以对单位正方形积分可由 Stokes 定理转成边界上的线积分。另一方面，在穿孔平面上

满足 $d\omega =0$，但沿单位圆的积分为 $2\pi$，故它不是全局恰当形式。闭不必恰当的差别正由拓扑造成。

微分形式公理库微分形式Differential form在每点切空间上光滑变化的交替多线性协变量场。经外微分构成上链复形，$d^2=0$ 使闭形式模恰当形式形成 de Rham 上同调。Stokes 定理公理库流形上的 Stokes 定理Stokes' theorem on manifolds紧支撑微分形式的外微分在流形上的积分等于该形式在边界上的积分。把 $d$ 与边界积分配对，上同调公理库上同调Cohomology对链复形取到系数群的同态形成上链复形，再取上同调得到反变不变量。则解释闭而不恰当的全局障碍。外微分与拉回交换，使坐标变换、守恒律和规范场计算保持自然性。