形式陈述

外微分是唯一的线性算子 $d:\Omega^k(M)\to\Omega^{k+1}(M)$$d:{\mathrm{\Omega }}^k(M)\to {\mathrm{\Omega }}^{k+1}(M)$，在函数上等于微分，满足 $d^2=0$$d^2=0$ 与

$$ d(\alpha\wedge\beta)=d\alpha\wedge\beta+(-1)^k\alpha\wedge d\beta $$$$d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1{)}^k\alpha \wedge d\beta$$

（$\alpha$$\alpha$ 为 $k$$k$ 形式），并与拉回交换。闭形式满足 $d\omega=0$$d\omega =0$，恰当形式形如 $\omega=d\eta$$\omega =d\eta$；恰当必闭，反向只局部或在额外拓扑条件下成立。

直觉

外微分测量形式在无穷小边界上的变化，把梯度、旋度和散度放进同一个算子。

例子与边界

在 $\mathbb R^2$${\mathbb{R}}^2$，若 $\omega=Pdx+Qdy$$\omega =Pdx+Qdy$，则 $d\omega=(\partial_xQ-\partial_yP)dx\wedge dy$$d\omega =({\partial }_{x}Q-{\partial }_{y}P)dx\wedge dy$。$d(df)=0$$d(df)=0$ 对应混合偏导抵消。圆周上的角形式局部恰当但全局可能不恰当，显示拓扑障碍。

推论与应用

外微分构成 de Rham 复并支撑 Stokes 定理、守恒律和几何场论。

参考资料

• John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd ed., Springer, 2013，Chs. 1–16。
• Michael Spivak, Calculus on Manifolds, W. A. Benjamin, 1965，Chs. 1–5。