形式陈述

若 $W\le V$$W\le V$ 是子空间，定义 $v\sim v'$$v\sim v^{\prime }$ 当且仅当 $v-v'\in W$$v-v^{\prime }\in W$。商空间 $V/W$$V/W$ 的元素是陪集 $v+W$$v+W$，运算为 $(v+W)+(u+W)=(v+u)+W$$(v+W)+(u+W)=(v+u)+W$ 与 $a(v+W)=av+W$$a(v+W)=av+W$；子空间条件保证良定义。自然投影 $\pi:V\to V/W$$\pi :V\to V/W$ 的核为 $W$$W$。

直觉

把相差一个 $W$$W$ 中向量的点视为同一点，相当于忽略沿 $W$$W$ 方向的差异，只保留横向自由度。

例子与边界

$\mathbb R^2/\operatorname{span}(1,0)$${\mathbb{R}}^2/\mathrm{span}(1,0)$ 可视为只记录纵坐标的一维空间。有限维时 $\dim(V/W)=\dim V-\dim W$$\dim (V/W)=\dim V-\dim W$。商集若分母不是子空间，向量加法可能依代表元而变化。线性映射第一同构定理给出 $V/\ker T\cong\operatorname{im}T$$V/\ker T\cong \mathrm{im}T$。

推论与应用

商空间用于消除约束方向、构造同调和余核、定义切空间及形成外代数等普遍商构造。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed., Springer, 2024，Chs. 1–9。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Chs. 1–16。