商向量空间

商向量空间公理库向量空间Vector space标量域作用下满足线性公理的加法阿贝尔群。把子空间 $W$ 中的全部位移视为零：两个点只要相差一个 $W$ 中的向量，就被识别为同一个商类。因此商空间的一个“点”实际代表一整张与 $W$ 平行的仿射层；这个构造不是从 $V$ 中删去 $W$，而是把沿 $W$ 的差异压缩掉，只保留横向的独立自由度。

${\mathbb{R}}^2/\mathrm{span}(1,0)$ 可视为只记录纵坐标的一维空间。有限维时 $\dim (V/W)=\dim V-\dim W$。商集公理库商集Quotient set · Set of equivalence classes等价关系的所有等价类组成的集合。若分母不是子空间，向量加法可能依代表元而变化。线性映射第一同构定理给出 $V/\ker T\cong \mathrm{im}T$。

在 $V={\mathbb{R}}^3$ 中令 $W=\mathrm{span}(e_1,e_2)$，则两个向量同商类当且仅当第三坐标相同，故 $V/W\cong \mathbb{R}$。若另选一个补空间 $U$ 使 $V=W\oplus U$，就会得到 $V/W\cong U$；这个同构依赖补空间的选择，商空间本身却不依赖任何选择。

子空间公理库线性子空间Linear subspace · Vector subspace在原向量运算下封闭、因而自身构成向量空间的非空子集。条件保证商类上的加法与标量乘法良定义；在有限维情形，消除 $W$ 方向后的自由度由

精确计算。规范投影的核为 $W$，由秩–零化度定理公理库秩–零化度定理Rank–nullity theorem有限维线性映射的定义域维数等于核维数与像维数之和。与第一同构定理，任意线性映射的像都可视为定义域对核的商；从陪域商去该像则得到线性映射的余核公理库余核Cokernel · 余核对象将目标模中已被同态像命中的部分商去，留下映射未覆盖方向的泛性质对象。。这种“消除指定方向”的机制还用于构造同调、定义切空间，并形成外代数等普遍商构造。