外代数

两个方向张成有向平行四边形，重复一个方向就使面积退化，交换两个方向则翻转定向。楔积把这些规则写成代数关系；在实欧氏空间中，它的大小可解释为面积或高维体积。一般域上没有长度概念，但交替性和线性相关的判别仍然成立。

${\mathrm{\Lambda }}^{k}V$ 收集 $k$ 个方向的交替信息，外代数把不同阶放在同一空间中，并允许相乘进入更高阶。一个简单楔积 $v_1\wedge \cdots \wedge v_k$ 描述一组方向，一般元素则是这些简单楔积的线性组合，可以同时包含多个方向组的贡献。

设 $e_1,e_2$ 是二维空间的基，则 $1,e_1,e_2,e_1\wedge e_2$ 是整个外代数的基。次数分别为 $0,1,1,2$，三次及以上外幂为零。由双线性展开，若 $v=a{e}_1+b{e}_2$、$w=c{e}_1+d{e}_2$，则

例如 $v=2e_1+e_2$、$w=e_1+3e_2$ 给出 $v\wedge w=5e_1\wedge e_2$；交换 $v,w$ 后系数为 $-5$。

若 $e_1,\dots ,e_n$ 为基，严格递增指标的楔积 $e_{i_1}\wedge \cdots \wedge e_{i_k}$ 构成 ${\mathrm{\Lambda }}^{k}V$ 的基。因此

这也解释了 $v_1\wedge \cdots \wedge v_k=0$ 当且仅当这些向量线性相关：相关时展开产生重复因子；无关时可扩充为基，楔积成为非零基元素。

在 ${\mathbb{R}}^4$ 中，$\alpha =e_1\wedge e_2+e_3\wedge e_4$ 就无法写成单个 $u\wedge v$。因为

而 $(u\wedge v)\wedge (u\wedge v)$ 总因重复因子而为零。

特征为 $2$ 时 $-1=1$，反交换式化为交换式，定义仍要求 $v\wedge v=0$。例如 ${\mathbb{F}}_2[x]$ 中乘法满足 $ab=-ba$，但 $x^2\ne 0$；一维空间的外代数则把生成元的平方消去，只留下次数为 $0,1$ 的两部分。

交换环上模的外幂 ​

以上张量—商构造也适用于交换含幺环 $R$ 上的模 $M$。取 $T_R(M)=\underset{q\ge 0}{⨁}{M}^{{\otimes }_{R}q}$，其中零次为 $R$，再商去所有 $m\otimes m$ 生成的双边理想，得到 ${\mathrm{\Lambda }}_{R}M$；各次为 $R$-模，楔积是 $R$-双线性的。这里不要求 $M$ 有基。

若 $M=R^r$ 是有限自由模理路自由模Free module具有基、因而每个元素可唯一写为有限线性组合的模。，严格递增指标的 $e_{i_1}\wedge \cdots \wedge e_{i_q}$ 给出外幂的自由坐标，因而 ${\mathrm{\Lambda }}_R^q(R^r)\cong R^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{q})}$。重复因子的楔积为零、交换相邻因子变号的展开证明仍然适用；这正是 Koszul 复形理路Koszul 复形Koszul complex用外代数把一列乘法关系组织成链复形，逐项计算正则序列和重复元素的同调，并解释正合性如何检测正则。使用的模外幂。一般的非自由模则不能直接套用这组基或自由秩公式。

对每个交替 $k$ 重线性映射 $f:V^k\to W$，存在唯一线性映射 $\tilde{f}:{\mathrm{\Lambda }}^{k}V\to W$ 使 $\tilde{f}(v_1\wedge \cdots \wedge v_k)=f(v_1,\dots ,v_k)$。这是外幂的泛性质理路泛性质Universal property在候选结构组成的范畴中以始对象或终对象刻画构造。：要处理交替多线性表达式，可以转而处理一个线性映射。

当 $\dim V=n$ 时，线性算子 $A:V\to V$ 在最高次外幂上诱导 ${\mathrm{\Lambda }}^{n}A$。该空间为一维，因此诱导算子就是乘以一个标量，这个标量正是行列式理路行列式Determinant交换含幺环上方阵的交替多线性标量不变量。。微分几何中，微分形式的值属于余切空间的外幂 ${\mathrm{\Lambda }}^k{T}_x^{\ast }M$；楔积组合形式，外微分再把它们连成复形，通向Stokes 定理理路流形上的 Stokes 定理Stokes' theorem on manifolds紧支撑微分形式的外微分在流形上的积分等于该形式在边界上的积分。与 de Rham 上同调。

Koszul 复形理路Koszul 复形Koszul complex用外代数把一列乘法关系组织成链复形，逐项计算正则序列和重复元素的同调，并解释正合性如何检测正则。在自由模的外幂上定义“删去一项并乘对应系数”的微分。外代数的符号使连续删除两个基向量的两种顺序相消，因此微分平方为零；高次同调随后检测一列环元素是否具有正则性。

Grassmann簇的Plücker嵌入理路Grassmann 簇与 Plücker 嵌入Grassmannian · Plücker embedding以最大子式为子空间建立射影坐标，完整计算Gr(2,4)的四参数图和Plücker关系，并辨别不可分解二向量。则用非零可分解外积的射影类参数化子空间。最大子式在换基时同时乘一个行列式；$\mathrm{Gr}(2,4)$ 的六个坐标受一条二次关系约束，在任一非零子式图中只剩四个自由参数。