形式陈述

向量空间 $V$$V$ 的外代数 $\Lambda V=T(V)/I$$\mathrm{\Lambda }V=T(V)/I$，其中 $I$$I$ 是由所有 $v\otimes v$$v\otimes v$ 生成的双边理想。乘法写作楔积，满足 $v\wedge v=0$$v\wedge v=0$，从而 $u\wedge v=-v\wedge u$$u\wedge v=-v\wedge u$；在特征 2 中反交换式不能替代交替定义。它按次数分解为 $\bigoplus_k\Lambda^kV$$\underset{k}{⨁}{\mathrm{\Lambda }}^{k}V$，有限维 $n$$n$ 时 $\dim\Lambda^kV=\binom nk$$\dim {\mathrm{\Lambda }}^{k}V=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$。

直觉

楔积记录有向面积和体积：重复方向使体积为零，交换方向翻转定向。

例子与边界

若 $e_1,e_2$$e_1,e_2$ 为基，则 $e_1\wedge e_2$$e_1\wedge e_2$ 张成二维顶次外幂。$v_1\wedge\cdots\wedge v_k=0$$v_1\wedge \cdots \wedge v_k=0$ 当这些向量线性相关。外代数不同于对称代数；前者编码交替多线性，后者编码交换多项式。

推论与应用

外代数统一行列式、微分形式、定向、体积元和同调代数中的交替构造。

参考资料

• Serge Lang, Algebra, revised 3rd ed., Springer, 2002，Parts I–IV。
• Steven Roman, Advanced Linear Algebra, 3rd ed., Springer, 2008，Chs. 1–14。