外代数

楔积记录有向面积和体积：重复方向使体积为零，交换方向翻转定向。外代数强制 $v\wedge v=0$，因此楔积只记录彼此独立方向形成的有向体积，而自动抹去重复方向。交换两个一次向量会改变符号，正对应有向面积或体积的方向反转。它把不同阶的交替多线性信息收进一个分次代数。

若 $e_1,e_2$ 为基，则 $e_1\wedge e_2$ 张成二维顶次外幂。$v_1\wedge \cdots \wedge v_k=0$ 当这些向量线性相关。外代数不同于对称代数；前者编码交替多线性，后者编码交换多项式。在二维空间基 $e_1,e_2$ 下，${\mathrm{\Lambda }}^{0}V\cong F$、${\mathrm{\Lambda }}^{1}V=V$、${\mathrm{\Lambda }}^{2}V=\mathrm{span}(e_1\wedge e_2)$，更高次均为零。若 $v=a{e}_1+b{e}_2$、$w=c{e}_1+d{e}_2$，则

系数就是行列式。特征$2$ 时仍应以 $v\wedge v=0$ 定义交替性，不能只写反交换关系。

外代数统一行列式、微分形式、定向、体积元和同调代数中的交替构造。外代数由 张量积公理库张量积Tensor product把双线性映射统一因子化为线性映射的向量空间构造。 商去 $v\otimes v$ 生成的理想得到，满足交替映射的 泛性质公理库泛性质Universal property在候选结构组成的范畴中以始对象或终对象刻画构造。。最高次外幂解释行列式，外形式与 流形上的 Stokes 定理公理库流形上的 Stokes 定理Stokes' theorem on manifolds紧支撑微分形式的外微分在流形上的积分等于该形式在边界上的积分。 相连，并用于定向、微分几何和同调代数。