张量积

张量积把“双线性依赖两个输入”的问题转换为“线性依赖一个新输入”。关系 $(v+v^{\prime })\otimes w=v\otimes w+v^{\prime }\otimes w$ 等正是强制双线性所需的最小关系。

张量积把双线性依赖改写为普通线性依赖：每个双线性映射 $V\times W\to U$ 都唯一经由 $V\otimes W$ 的线性映射分解。符号 $v\otimes w$ 只生成空间，任意张量通常需要若干纯张量之和表示，并不都能写成单个 $v\otimes w$。

$F^m\otimes F^n\cong F^{mn}$。矩阵秩一对象可写成 $v\otimes w$，而一般矩阵需多个纯张量相加，说明不是每个张量可分解为单个纯张量。张量积不是笛卡尔积：维数分别为 $mn$ 与 $m+n$。对模的张量积仍由平衡映射的泛性质定义，但可能出现挠现象，例如

右端是模 $gcd(m,n)$ 的循环群（也可视为商环的加法群），不是整数 $gcd(m,n)$ 本身。张量函子通常右正合却不必左正合；符号 $v\otimes w$ 也始终依赖所取底环或底域。

若 $V=F^m,W=F^n$，则 $V\otimes W$ 有基 $e_i\otimes f_j$，维数为 $mn$。矩阵 $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ 对应的二阶张量不能写成单个列向量与行向量的外积，因为其矩阵秩为 $2$。在一般环上，张量可能杀掉非零元素，例如挠现象需要谨慎。

张量积统一双线性形式、多重线性代数、基变换、量子复合系统和同调代数中的系数变换。

泛性质公理库泛性质Universal property在候选结构组成的范畴中以始对象或终对象刻画构造。定义张量积并保证唯一性。它构造多线性映射公理库线性映射Linear map · Linear transformation保持向量加法和标量乘法的函数。、外代数公理库外代数Exterior algebra把张量代数按 v⊗v=0 的关系取商所得的分次代数。、标量扩张和张量网络；Hom–tensor 伴随与平坦模则控制张量对正合列的影响。