形式陈述

设 $V,W$$V,W$ 为域 $F$$F$ 上向量空间。张量积是向量空间 $V\otimes_F W$$V{\otimes }_{F}W$ 连同双线性映射

$$ \tau:V\times W\to V\otimes W, \qquad (v,w)\mapsto v\otimes w, $$$$\tau :V\times W\to V\otimes W,(v,w)\mapsto v\otimes w,$$

满足泛性质：对任意向量空间 $U$$U$ 和双线性映射 $B:V\times W\to U$$B:V\times W\to U$，存在唯一线性映射 $\widetilde B:V\otimes W\to U$$\tilde{B}:V\otimes W\to U$ 使 $B=\widetilde B\circ\tau$$B=\tilde{B}\circ \tau$。若 $(e_i)$$(e_i)$、$(f_j)$$(f_j)$ 是基，则 $(e_i\otimes f_j)$$(e_i\otimes f_j)$ 是张量积的一组基；有限维时

$$ \dim(V\otimes W)=\dim V\,\dim W. $$$$\dim (V\otimes W)=\dim V\dim W.$$

一般元素是有限个纯张量之和，不必自身为纯张量。

直觉

张量积把“双线性依赖两个输入”的问题转换为“线性依赖一个新输入”。关系 $(v+v')\otimes w=v\otimes w+v'\otimes w$$(v+v^{\prime })\otimes w=v\otimes w+v^{\prime }\otimes w$ 等正是强制双线性所需的最小关系。

例子与边界

$F^m\otimes F^n\cong F^{mn}$$F^m\otimes F^n\cong F^{mn}$。矩阵秩一对象可写成 $v\otimes w$$v\otimes w$，而一般矩阵需多个纯张量相加，说明不是每个张量可分解为单个纯张量。张量积不是笛卡尔积：维数分别为 $mn$$mn$ 与 $m+n$$m+n$。对模的张量积仍由平衡映射的泛性质定义，但可能出现挠现象，例如 $\mathbb Z/n\otimes_\mathbb Z\mathbb Z/m\cong\mathbb Z/\gcd(m,n)$$\mathbb{Z}/n{\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/m\cong \mathbb{Z}/gcd(m,n)$；张量函子通常右正合却不必左正合。符号 $v\otimes w$$v\otimes w$ 依赖所取底环或底域。

推论与应用

张量积统一双线性形式、多重线性代数、基变换、量子复合系统和同调代数中的系数变换。

参考资料

• Serge Lang, Algebra, revised 3rd ed., Springer, 2002，Ch. XVI, tensor products and multilinear maps。
• Steven Roman, Advanced Linear Algebra, 3rd ed., Springer, 2008，Ch. 14, tensor products and universal property。