自由模

自由模没有除模公理外的额外线性关系：选定每个基元素的像后，所有元素的像被唯一强制确定。自由模拥有一组真正的“坐标轴”，每个元素都能唯一写成有限线性组合；这把向量空间的基概念搬到一般环上。差别在于模未必有基，基的大小也不总像域上线性代数那样容易控制。自由性由映射性质刻画：给基集合任意指定像，就唯一延拓为模同态。

$R^n$ 是秩 $n$ 自由模，标准基为坐标向量。向量空间都是自由模。$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 作为 $\mathbb{Z}$-模不自由，因为非零元素有挠性，而自由阿贝尔群无非零有限阶元素。理想 $(2,x)\subset \mathbb{Z}[x]$ 是自由模 $\mathbb{Z}[x]$ 的有限生成子模，却不是自由的：若它自由，则与分式域张量后可知秩只能为一，从而该理想应为主理想，矛盾。无限基表达仍只允许有限支撑，因此自由模是直和而非直积。某些非交换怪异环缺乏基数不变量，可能出现 $R^m\cong R^n$ 且 $m\ne n$；本库常用交换环环境避开此现象。PID 上自由模的子模仍自由，但对一般环失败。

对无限集合 $I$，有限支撑函数组成的

以坐标向量 $e_i$ 为基，是自由模。直积 $R^I$ 还包含常值序列 $(1,1,\dots )$，它不能写成有限多个 $e_i$ 的线性组合，所以同一组坐标向量并不生成整个直积。这个区别说明无限秩自由模对应直和而非直积；“允许无限多个坐标”不等于“允许无限线性组合”。

自由模把矩阵和生成元方法推广到一般环；有限呈示模、投射模和分辨率都以它作为可计算基准。自由模是模公理库模Module以含幺环元素作标量、以阿贝尔群作加法结构的代数对象。范畴中的自由对象，满足泛性质公理库泛性质Universal property在候选结构组成的范畴中以始对象或终对象刻画构造。。矩阵表示模同态、自由分解与张量积公理库张量积Tensor product把双线性映射统一因子化为线性映射的向量空间构造。计算都从它出发；PID 上有限生成模结构定理公理库PID 上有限生成模结构定理Structure theorem for finitely generated modules over a PIDPID 上每个有限生成模唯一分解为有限秩自由部分与满足整除链的循环挠模。进一步说明任意有限生成模如何由自由部分和挠部分组成。