形式陈述

左 $R$$R$-模 $M$$M$ 称为自由模，若存在子集 $B\subseteq M$$B\subseteq M$，使每个 $m\in M$$m\in M$ 都能唯一写成有限和

$$ m=\sum_{b\in B} r_b b, $$$$m=\sum _{b\in B}{r}_{b}b,$$

其中只有有限多个 $r_b\ne0$$r_b\ne 0$。$B$$B$ 称为基，因而 $M\cong\bigoplus_{b\in B}R$$M\cong \underset{b\in B}{⨁}R$。自由模满足泛性质：任意函数 $B\to N$$B\to N$ 唯一延拓为 $R$$R$-模同态 $M\to N$$M\to N$。在非零交换环上，任意两个有限基元素数相同，定义秩；更一般环若有 invariant basis number 也成立。不是每个模都自由，且子模或商模也不总保持自由性。

直觉

自由模没有除模公理外的额外线性关系：选定每个基元素的像后，所有元素的像被唯一强制确定。

例子与边界

$R^n$$R^n$ 是秩 $n$$n$ 自由模，标准基为坐标向量。向量空间都是自由模。$\mathbb Z/n\mathbb Z$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 作为 $\mathbb Z$$\mathbb{Z}$-模不自由，因为非零元素有挠性，而自由阿贝尔群无非零有限阶元素。理想 $(2,x)\subset\mathbb Z[x]$$(2,x)\subset \mathbb{Z}[x]$ 是自由模 $\mathbb Z[x]$$\mathbb{Z}[x]$ 的有限生成子模，却不是自由的：若它自由，则与分式域张量后可知秩只能为一，从而该理想应为主理想，矛盾。无限基表达仍只允许有限支撑，因此自由模是直和而非直积。某些非交换怪异环缺乏基数不变量，可能出现 $R^m\cong R^n$$R^m\cong R^n$ 且 $m\ne n$$m\ne n$；本库常用交换环环境避开此现象。PID 上自由模的子模仍自由，但对一般环失败。

推论与应用

自由模把矩阵和生成元方法推广到一般环；有限呈示模、投射模和分辨率都以自由模作为可计算基准。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，Ch. 10, free modules, bases, and universal property。
• Serge Lang, Algebra, revised 3rd ed., Springer, 2002，Part III, free modules and rank。