形式陈述

设 $(M,g)$$(M,g)$ 为紧致、无边界、定向的二维 Riemann 流形，高斯曲率为 $K$$K$，面积形式为 $dA$$dA$。Gauss–Bonnet 定理断言

$$ \int_M K\,dA=2\pi\chi(M). $$$${\int }_{M}KdA=2\pi \chi (M).$$

左侧依赖局部度量曲率，右侧只依赖拓扑。若 $M$$M$ 有分片光滑边界，则公式加入边界测地曲率和角点外角：

$$ \int_MK\,dA+\int_{\partial M}k_g\,ds+ \sum_i\theta_i=2\pi\chi(M), $$$${\int }_{M}KdA+{\int }_{\partial M}{k}_{g}ds+\sum _i{\theta }_i=2\pi \chi (M),$$

符号取决于边界定向约定。

直觉

曲面各处的微小弯曲总量不能任意变化；全局拓扑规定了必须积累的净曲率。把曲面局部切分时，内部边界贡献成对抵消，只剩欧拉计数。

例子与边界

单位球面 $K=1$$K=1$、面积 $4\pi$$4\pi$，故积分为 $4\pi=2\pi\cdot2$$4\pi =2\pi \cdot 2$。平坦环面若存在全局平坦度量则总曲率为零，与 $\chi(T^2)=0$$\chi (T^2)=0$ 一致；标准嵌入环面的正负高斯曲率也正好抵消。亏格 $g\ge2$$g\ge 2$ 的闭可定向曲面总曲率为 $2\pi(2-2g)<0$$2\pi (2-2g)<0$。有边界时若遗漏边界项，平面圆盘会给出 $0=2\pi$$0=2\pi$ 的荒谬结论；实际边界曲率积分补足 $2\pi$$2\pi$。

推论与应用

Gauss–Bonnet 是局部几何决定全局拓扑的原型，用于曲面分类、三角形角和、曲率约束和高维特征类理论的入口。

参考资料

• John M. Lee, Introduction to Riemannian Manifolds, 2nd ed., Springer, 2018，Ch. 9, the Gauss–Bonnet theorem。
• Manfredo P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, 1976，Ch. 5, local and global Gauss–Bonnet for surfaces。