Gauss–Bonnet 定理

Gauss–Bonnet 把每点无穷小的内在弯曲累积成只依赖拓扑的整数倍 $2\pi$。局部曲率可以正负相消，最终总量却被 Euler 示性数锁定；因此改变度量会重新分配曲率，却不能任意改变总积分。带边界时，缺失的内部曲率由边界测地曲率与角点转角补偿。

单位球面 $K=1$、面积 $4\pi$，故积分为 $4\pi =2\pi \cdot 2$。平坦环面若存在全局平坦度量则总曲率为零，与 $\chi (T^2)=0$ 一致；标准嵌入环面的正负高斯曲率也正好抵消。亏格 $g\ge 2$ 的闭可定向曲面总曲率为 $2\pi (2-2g)<0$。有边界时若遗漏边界项，平面圆盘会给出 $0=2\pi$ 的荒谬结论；实际边界曲率积分补足 $2\pi$。

在单位球面上，取三个坐标轴正向端点组成的球面三角形。三条边都是大圆弧，三个内角均为 $\pi /2$，区域恰占球面的八分之一，面积为 $\pi /2$。于是

若边界不是测地线，还必须加入测地曲率积分；仅用角盈不能恢复内部曲率。

高斯曲率公理库高斯曲率Gaussian curvature二维 Riemann 流形在一点截面曲率的内蕴标量。由Riemann 度量公理库Riemann 度量Riemannian metric在每一点切空间上光滑变化的正定内积。定义，定向公理库流形定向Orientation of a manifold对各切空间一致选择正向基等价类的结构。允许积分，最终得到Euler 示性数公理库欧拉示性数Euler characteristic以胞腔交替计数或同调群秩交替和定义的拓扑不变量。。该定理可证明正曲率闭曲面的拓扑限制、三角形角和缺陷公式，并把微分几何与拓扑分类连接起来。多边形与带边界版本还统一了平面总转角。