流形定向

定向是在所有切空间中连续选择“正向基”的两个连通类之一，并要求重叠坐标变换的 Jacobian 行列式为正。局部总能选择方向，障碍在于沿闭路移动后是否会翻转。顶维处处非零微分形式提供等价的全局证书；若无法选择，流形仍可在局部积分，但没有一致的全局符号。

${\mathbb{R}}^n$、球面和环面可定向；Möbius 带和实射影平面不可定向。嵌入 Euclidean 空间的超曲面若存在连续单位法向场，则可由法向与环境定向诱导定向，但这不是抽象定义。行列式非零只表示坐标变换局部可逆；定向相容还要求其符号为正。可定向性是“是否存在”，定向是“一次具体选择”，二者不能混同。

圆柱面可选连续法向量或坐标方向，因此可定向；Möbius 带沿中心圈走一周后横向方向翻转，无法全局定向。球面作为 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 中边界具有“外法向优先”的标准定向。改变定向会令顶维形式积分整体变号，但不会改变未定向的面积测度。

光滑流形公理库光滑流形Smooth manifold坐标图之间转移映射光滑的拓扑流形。的切空间公理库切空间Tangent space在一点由曲线速度或函数导子等价定义的局部线性空间。基通过行列式公理库行列式Determinant交换含幺环上方阵的交替多线性标量不变量。符号粘成定向，顶维微分形式公理库微分形式Differential form在每点切空间上光滑变化的交替多线性协变量场。据此可积分。Stokes 定理公理库流形上的 Stokes 定理Stokes' theorem on manifolds紧支撑微分形式的外微分在流形上的积分等于该形式在边界上的积分。还给有边界流形诱导边界定向；流形基本类、交数以及 Gauss–Bonnet公理库Gauss–Bonnet 定理Gauss–Bonnet theorem闭定向曲面的总高斯曲率等于 2π 乘其欧拉示性数。 的有向积分版本也都依赖这套一致符号。定向双覆叠可把不可定向性编码为二层结构。