形式陈述

光滑 $n$$n$ 维流形的坐标图称正向相容，若任意重叠处转移映射的 Jacobian 行列式满足

$$ \det D(\psi\circ\varphi^{-1})>0. $$$$\det D(\psi \circ {\phi }^{-1})>0.$$

若存在由两两正向相容坐标图组成并覆盖 $M$$M$ 的图册，则 $M$$M$ 称可定向；选择这样一个极大正向图册称为定向。等价地，可在各点一致选择有序局部方向，使其沿坐标变化连续。连通可定向流形恰有两种定向；非连通时每个分支可独立选择。

直觉

定向是在所有局部坐标中一致决定“右手系”的规则，禁止沿闭路走一圈后把正方向翻转。

例子与边界

$\mathbb R^n$${\mathbb{R}}^n$、球面和环面可定向；Möbius 带和实射影平面不可定向。嵌入 Euclidean 空间的超曲面若存在连续单位法向场，则可由法向与环境定向诱导定向，但这不是抽象定义。行列式非零只表示坐标变换局部可逆；定向相容还要求其符号为正。可定向性是“是否存在”，定向是“一次具体选择”，二者不能混同。

推论与应用

定向决定积分和 Stokes 定理中的符号，使体积形式、基本类、交数和 Gauss–Bonnet 公式能够全局一致定义。

参考资料

• John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd ed., Springer, 2013，Ch. 15, orientations and oriented atlases。
• Michael Spivak, Calculus on Manifolds, W. A. Benjamin, 1965，Ch. 5, orientation and integration conventions。