奇异链复形

链群允许把几何片段做整数线性叠加，边界算子只记录片段怎样首尾抵消。条件 ${\partial }_{n-1}{\partial }_n=0$ 说明每个边界自动是循环，却不保证每个循环都真是更高维对象的边界；二者之间的缺口正是同调。把几何连续变形送到链映射后，拓扑问题被转成阿贝尔群与同态的计算。

一条从 $a$ 到 $b$ 的奇异路径边界为 $b-a$。定向三角形边界是三条有向边，而这些边的端点再求边界后完全抵消。链是有限整数线性组合，不允许任意无限和；若需局部有限链会得到 Borel–Moore 同调等不同理论。${\partial }^2=0$ 依赖交替符号和一致的面编号，不能把所有面简单相加。一般链复形是代数概念，奇异链复形只是其拓扑来源之一。

在一个实心三角形中，三条有向边之和是二维单形的边界，所以对应一维循环在同调中为零；若空间只有三角形边界，绕行一周的同一循环不再是奇异二链的边界，产生 $H_1\cong \mathbb{Z}$。这里仍有常值或折叠的奇异二单形；缺少的是以该循环为边界的二维填充，不能说这个空间没有二维奇异单形。符号方向不可忽略：若三条边都按不相容方向相加，端点项不会抵消，连循环都不是。

奇异单形理路奇异单形Singular simplex标准单形到拓扑空间的连续映射。生成适用于任意空间的奇异链；给定有限组合剖分时，单纯同调理路单纯同调Simplicial homology以定向单形生成链群、以交替面和定义边界，并用循环模边界得到的同调理论。改用定向单形作生成元；给定 CW 骨架时，胞腔同调理路胞腔同调Cellular homology由 CW 骨架过滤构造以胞腔为基的链复形，并计算与奇异同调自然同构的群。以相邻骨架的相对同调作链群。三种模型都以Abel 群理路阿贝尔群Abelian group · Commutative group运算还满足交换律的群，通常用加法记号表达其叠加结构。中的核模像定义同调，并由比较定理连接。对子空间取商得到相对同调理路相对同调Relative homology用商链复形 $C_*(X)/C_*(A)$ 测量空间相对于子空间新增的同调。，链映射的核与余核理路余核Cokernel · 余核对象将目标模中已被同态像命中的部分商去，留下映射未覆盖方向的泛性质对象。再进入同调正合列理路同调正合列Exact sequence in homology空间对或链复形短正合列诱导的长正合群列。。

给空间安排有限过滤 $\varnothing =X_{-1}\subseteq X_0\subseteq \cdots \subseteq X_N=X$ 时，包含映射把 $C_{\ast }(X_p)$ 识别为 $C_{\ast }(X)$ 的子复形：单形的每个面仍落在同一个子空间。因此 $F_{p}C=C_{\ast }(X_p)$ 给出过滤链复形的谱序列理路谱序列Spectral sequence · 谱序列的一般构造 · Spectral sequence of a filtered chain complex · 过滤链复形的谱序列从有限过滤链复形构造各页及微分，证明翻页等于取同调，并以代表元修正算到相关分次同调。，其相关分次链群就是相对链群

此时总空间的同调可以逐层计算，但最终页记录的是同调过滤的相邻商，仍须留意层与层之间的扩张。