形式陈述

奇异链群 $C_n(X)$$C_n(X)$ 是以所有奇异 $n$$n$-单形为基的自由阿贝尔群。边界算子在线性延拓前定义为

$$ \partial_n\sigma =\sum_{i=0}^n(-1)^i\sigma\circ\delta_i. $$$${\partial }_n\sigma =\sum _{i=0}^n(-1{)}^i\sigma \circ {\delta }_i.$$

相邻面以相反符号出现，从而

$$ \partial_{n-1}\circ\partial_n=0. $$$${\partial }_{n-1}\circ {\partial }_n=0.$$

因此得到链复形

$$ \cdots\xrightarrow{\partial_{n+1}}C_n(X) \xrightarrow{\partial_n}C_{n-1}(X) \xrightarrow{}\cdots\xrightarrow{}C_0(X)\to0. $$$$\cdots \stackrel{{\partial }_{n+1}}{\to }{C}_n(X)\stackrel{{\partial }_n}{\to }{C}_{n-1}(X)\stackrel{}{\to }\cdots \stackrel{}{\to }{C}_0(X)\to 0.$$

连续映射 $f:X\to Y$$f:X\to Y$ 通过 $f_\#(\sigma)=f\circ\sigma$$f_{\mathrm{\#}}(\sigma )=f\circ \sigma$ 诱导链映射，并与边界交换。

直觉

有向单形的边界是有符号的面之和；再取一次边界时，每个余维二面以两种相反次序出现并抵消。“边界没有边界”是整个代数结构的核心。

例子与边界

一条从 $a$$a$ 到 $b$$b$ 的奇异路径边界为 $b-a$$b-a$。定向三角形边界是三条有向边，而这些边的端点再求边界后完全抵消。链是有限整数线性组合，不允许任意无限和；若需局部有限链会得到 Borel–Moore 同调等不同理论。$\partial^2=0$${\partial }^2=0$ 依赖交替符号和一致的面编号，不能把所有面简单相加。一般链复形是代数概念，奇异链复形只是其拓扑来源之一。

推论与应用

链复形把几何边界关系编码为群同态，使连续映射变为函子性链映射，为同调、上同调和正合列提供共同代数骨架。

参考资料

• Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002，Ch. 2, singular chain complex and boundary operator。
• Glen E. Bredon, Topology and Geometry, Springer, 1993，Ch. IV, chain complexes and functoriality。