形式陈述
本页是一般链复形公理库链复形Chain complex一列 Abel 群及相邻边界同态组成、并满足连续两次边界复合为零的代数结构。在拓扑空间上的奇异构造。
奇异链群 是以所有奇异 -单形为基的自由阿贝尔群。边界算子在线性延拓前定义为
相邻面以相反符号出现，从而
因此得到链复形
连续映射 通过 诱导链映射，并与边界交换。
直觉
链群允许把几何片段做整数线性叠加，边界算子只记录片段怎样首尾抵消。条件 说明每个边界自动是循环，却不保证每个循环都真是更高维对象的边界；二者之间的缺口正是同调。把几何连续变形送到链映射后，拓扑问题被转成阿贝尔群与同态的计算。
例子与边界
一条从 到 的奇异路径边界为 。定向三角形边界是三条有向边，而这些边的端点再求边界后完全抵消。链是有限整数线性组合，不允许任意无限和；若需局部有限链会得到 Borel–Moore 同调等不同理论。 依赖交替符号和一致的面编号，不能把所有面简单相加。一般链复形是代数概念，奇异链复形只是其拓扑来源之一。
在一个实心三角形中，三条有向边之和是二维单形的边界，所以对应一维循环在同调中为零；若空间只有三角形边界而没有内部二维单形，同一循环不再是边界，产生 。符号方向不可忽略：若三条边都按不相容方向相加，端点项不会抵消，连循环都不是。
推论与应用
奇异单形公理库奇异单形Singular simplex标准单形到拓扑空间的连续映射。生成适用于任意空间的奇异链；给定有限组合剖分时，单纯同调公理库单纯同调Simplicial homology以定向单形生成链群、以交替面和定义边界，并用循环模边界得到的同调理论。改用定向单形作生成元；给定 CW 骨架时，胞腔同调公理库胞腔同调Cellular homology由 CW 骨架过滤构造以胞腔为基的链复形，并计算与奇异同调自然同构的群。以相邻骨架的相对同调作链群。三种模型都以Abel 群公理库阿贝尔群Abelian group · Commutative group运算还满足交换律的群，通常用加法记号表达其叠加结构。中的核模像定义同调，并由比较定理连接。对子空间取商得到相对同调公理库相对同调Relative homology用商链复形 $C_*(X)/C_*(A)$ 测量空间相对于子空间新增的同调。，链映射的核与余核公理库余核Cokernel · 余核对象将目标模中已被同态像命中的部分商去，留下映射未覆盖方向的泛性质对象。再进入同调正合列公理库同调正合列Exact sequence in homology空间对或链复形短正合列诱导的长正合群列。。
参考资料
- Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002，Ch. 2, singular chain complex and boundary operator。
- Glen E. Bredon, Topology and Geometry, Springer, 1993，Ch. IV, chain complexes and functoriality。
