Hurewicz 同态

同伦群记录球面映射怎样以非线性方式缠绕，Hurewicz 映射则忘掉拼接顺序和高阶相互作用，只保留该球面在链复形中扫过的有向总量。因此它像一次线性化：可把第一个真正出现的同伦洞准确变成同调生成元，却可能把更高层的 Hopf 缠绕、Whitehead 积和挠现象压成零。

公式 $f_{\ast }[S^n]$ 还给出直接的几何读法。若目标是闭、连通、定向的 $n$ 维流形，结果就是映射次数乘以目标基本类；若目标根本没有 $n$ 维同调，所有球面类都会被送到零，无论这些类在同伦群里多么非平凡。

对 $f:S^n\to S^n$，有

反射一条坐标的映射次数为 $-1$，因而把生成元送到 $-[S^n]$；恒等映射次数为 $1$；把球面压到一点的映射次数为 $0$。由于 ${\pi }_n(S^n)\cong \mathbb{Z}$ 也由恒等类生成，$h_n$ 在这里就是整数上的恒等同构。

Hopf 映射 $\eta :S^3\to S^2$ 给出相反边界：

所以 $h_3$ 在该例中是零映射。Hurewicz 同态不是“把同伦群换一个名字写成同调群”，它何时成为同构需要连通性定理保证。

在 $n=1$，若 $X=S^1\vee S^1$，则 ${\pi }_1(X)=F(a,b)$，而 $H_1(X;\mathbb{Z})={\mathbb{Z}}^2$。映射满足

并把任意词只记录为两个生成元的指数和。这精确展示了非交换顺序如何在阿贝尔化中消失。

Hurewicz 定理说明：在低于 $n$ 的同伦群全消失时，$h_n$ 会识别第一个非零同伦群与第一个非零约化同调群。于是它既可用已知同伦群计算同调，也可由同调非零反证某个空间不可能过度连通。

相对 Hurewicz 映射把 $(D^n,S^{n-1})\to (X,A)$ 的类送到相对基本同调类，并在适当连通性与基本群作用条件下也有同构定理。若这些条件不满足，核与余核本身就包含重要的非线性信息；实际应用不能先假定 $h_n$ 单射或满射，再用结果“证明”连通性。