奇异单形

标准单形是固定的参数域，空间 $X$ 则接收它的任意连续变形。区间可以绕圈，三角形可以折叠到一条线，高维单形甚至可以全部映到一点。这种宽松性使定义不依赖预先选择的三角剖分。

它与单纯复形理路单纯复形Simplicial complex · Abstract simplicial complex由对取子集封闭的有限顶点集合族编码单形及其粘合关系的组合空间。中的几何单形不同：几何单形通常是一块不退化的线性区域；奇异单形保留整个参数化过程。因此相同图像可以对应不同单形，连续映射也能直接把每个单形送到另一个空间中的单形。

${\mathrm{\Delta }}^0$ 是单点，所以奇异 $0$-单形就是 $X$ 中一点。用 $s\mapsto (1-s,s)$ 将 $[0,1]$ 与 ${\mathrm{\Delta }}^1$ 识别后，奇异 $1$-单形就是参数化路径。

在 $S^1$ 中，$\sigma (s)=e^{2\pi is}$ 和 $\tau (s)=e^{4\pi is}$ 的像都是整个圆，但前者绕一圈、后者绕两圈，是不同的奇异单形。甚至只作非线性重参数化，也通常改变映射本身。在自由链群中，反向路径也不等于原路径的形式负号，虽然两者的边界相反。

映射 $\sigma :{\mathrm{\Delta }}^2\to \mathbb{R}$，$\sigma (t_0,t_1,t_2)=t_1+2t_2$，把三角形压到区间 $[0,2]$，仍是合法的奇异二单形。其三个面按参数 $s$ 分别为 $1+s$、$2s$、$s$；这允许直接核对面与顶点次序。

常值单形也合法，但“退化”不意味着它在通常奇异链群中等于零。常值一单形 $c_1$ 的边界为零，而常值二单形 $c_2$ 的边界是 $c_1-c_1+c_1=c_1$。只有改用另行定义的正规化链复形时，才会将退化单形商掉。

以所有奇异 $n$-单形为生成元，取有限整数线性组合，得到链群 $C_n(X)$。对 $n\ge 1$，边界线性延拓自

规定 $C_{-1}(X)=0$，零维链的边界为零。对路径，上式给出终点减起点；对二单形，记 $v_i=\sigma (e_i)$，写 $[ij]$ 表示从第 $i$ 个顶点到第 $j$ 个顶点的参数化面，则

高维中每个余维二面也出现两次，符号相反。这是生成链复形理路奇异链复形Chain complex in topology · Singular chain complex · 拓扑链复形由空间中的奇异单形生成链群，并以交替面映射组成满足边界平方为零的链复形。并定义奇异同调理路奇异同调Singular homology由奇异单形生成链复形，再以循环模边界得到的拓扑不变量。的关键，而不是纯粹的符号惯例。

若 $f:X\to Y$ 连续，令 $f_{\mathrm{\#}}(\sigma )=f\circ \sigma$，则后复合与取面交换，直接得到 $\partial f_{\mathrm{\#}}=f_{\mathrm{\#}}\partial$，从而诱导同调映射。重心细分进一步把参数单形切小，用于切除定理和 Mayer–Vietoris；无需要求像在 $X$ 中是一块嵌入三角形。

在光滑流形上积分微分形式时，使用可光滑延拓至参数单形局部邻域的光滑奇异单形，使形式拉回有定义。de Rham 定理理路de Rham 定理de Rham theorem · 德拉姆定理构造积分上链映射，通过光滑小链证明它与 Mayer–Vietoris 连接同态相容，再以有限好覆盖归纳证明积分同构。先在这个光滑链子模型上构造积分，再通过平滑化比较定理回到由连续单形定义的通常奇异上同调。