形式陈述

标准 $n$$n$ 维单形为

$$ \Delta^n=\{(t_0,\ldots,t_n)\in\mathbb R^{n+1}:t_i\ge0,\ \sum_i t_i=1\}. $$$${\mathrm{\Delta }}^n=\{(t_0,\dots ,t_n)\in {\mathbb{R}}^{n+1}:t_i\ge 0,\sum _i{t}_i=1\}.$$

拓扑空间 $X$$X$ 中的奇异 $n$$n$-单形是任意连续映射

$$ \sigma:\Delta^n\to X. $$$$\sigma :{\mathrm{\Delta }}^n\to X.$$

第 $i$$i$ 个面由仿射嵌入 $\delta_i:\Delta^{n-1}\to\Delta^n$${\delta }_i:{\mathrm{\Delta }}^{n-1}\to {\mathrm{\Delta }}^n$ 删除第 $i$$i$ 个顶点得到，记 $\sigma\circ\delta_i$$\sigma \circ {\delta }_i$。奇异单形不要求单射、嵌入或光滑；“奇异”正表示允许退化和自重叠。

直觉

用一个标准几何探针连续地铺到空间里，记录它的各个面如何落入空间。允许任意连续映射，使构造不依赖空间已有三角剖分。

例子与边界

奇异 $0$$0$-单形就是 $X$$X$ 中一点，奇异 $1$$1$-单形就是一条参数化路径。常值映射也是合法单形，且高维单形可压缩到低维子集。两个参数化不同但像相同的映射是不同生成元。奇异单形与单纯复形中的抽象/几何单形不同：后者来自固定组合剖分，前者遍历全部连续映射，因此集合通常极大。

推论与应用

奇异单形为所有拓扑空间统一生成链群，使同调无需先选择三角剖分，并让连续映射自然地逐单形作用。

参考资料

• Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002，Ch. 2, singular simplices and singular chains。
• Glen E. Bredon, Topology and Geometry, Springer, 1993，Ch. IV, singular simplices and chain complexes。