奇异单形 | Codeboy's Blog

形式陈述

标准 $n$ 维单形为

\Delta^n=\{(t_0,\ldots,t_n)\in\mathbb R^{n+1}:t_i\ge0,\ \sum_i t_i=1\}.

拓扑空间 $X$ 中的奇异 $n$ -单形是任意连续映射

\sigma:\Delta^n\to X.

第 $i$ 个面由仿射嵌入 $\delta_i:\Delta^{n-1}\to\Delta^n$ 删除第 $i$ 个顶点得到，记 $\sigma\circ\delta_i$ 。奇异单形不要求单射、嵌入或光滑；“奇异”正表示允许退化和自重叠。

直觉

奇异 $n$ -单形不是空间里一块线性三角形，而是标准单形到空间的任意连续映射。它可以折叠、自交甚至退化为低维集合；这种宽松性换来对所有拓扑空间的函子性。面映射通过限制标准单形的某个坐标为零得到，交替求和保证二次边界抵消。

例子与边界

奇异 $0$ -单形就是 $X$ 中一点，奇异 $1$ -单形就是一条参数化路径。常值映射也是合法单形，且高维单形可压缩到低维子集。两个参数化不同但像相同的映射是不同生成元。奇异单形与单纯复形中的抽象或几何单形不同：后者来自固定组合剖分，前者遍历全部连续映射，因此集合通常极大。

奇异一单形就是路径 $\sigma:[0,1]\to X$ ，其边界为 $\sigma(1)-\sigma(0)$ 。常值路径也是合法但退化的奇异单形。奇异二单形可把整个三角形压到一条曲线，仍参与链群；若只允许嵌入单形，许多空间会没有足够单形，连续映射也难以自然诱导链映射。

推论与应用

标准单形到空间的连续映射生成奇异链复形。其面与边界定义奇异同调，重心细分则把单形切小以证明切除与 Mayer–Vietoris。连续映射只需后复合每个奇异单形，便自动给出同调函子性。

参考资料

Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002，Ch. 2, singular simplices and singular chains。
Glen E. Bredon, Topology and Geometry, Springer, 1993，Ch. IV, singular simplices and chain complexes。