单纯复形

形式陈述 ​

设 $V$ 是有限顶点集。抽象单纯复形 $K$ 是 $V$ 的一个非空有限公理库有限集Finite set与某个初始自然数段存在双射的集合。子集族，并满足向下封闭条件：

$$\sigma \in K,\tau \subseteq \sigma ⟹\tau \in K.$$

$K$ 的元素称单形；含 $k+1$ 个顶点的单形称 $k$-单形，维数为 $k$。若 $\tau \subseteq \sigma$，则 $\tau$ 是 $\sigma$ 的面。不是任何更大单形真面的单形称 facet；facet 是按包含关系极大，不必彼此同维。子复形是 $K$ 中仍对取子集公理库子集Subset · Set inclusion集合 A 的每个元素都属于 B 时，称 A 是 B 的子集。封闭的单形族。本页采用 $\varnothing \in K$ 的约定，把空单形视为维数 $-1$；去掉它不影响通常的几何实现和非增广同调。

给每个顶点配置 Euclidean 空间中仿射独立的位置，并把每个 $\sigma$ 实现为这些顶点的凸包，按公共面粘合，得到几何实现 $|K|$。抽象复形记录组合粘合规则，几何实现把规则变成拓扑空间公理库拓扑空间Topological space用开集族编码邻近、连续与极限，而不要求数值距离的空间。。

直觉 ​

单纯复形不是“一堆三角形的图片”，而是一份严格的粘合清单。清单说某个三角形存在时，它的三条边和三个顶点也必须存在；两个高维块只能沿清单中共同拥有的面相遇。顶点名称承担身份，向下封闭保证每个局部边界都已被记录，因此后续可以用矩阵处理边界与同调。

局部结构可由 star 与 link 观察。顶点或单形 $\sigma$ 的 star 收集所有包含 $\sigma$ 的单形及其面；link 收集与 $\sigma$ 不交、但并上 $\sigma$ 后仍在 $K$ 中的单形。star 描述邻域，link 描述围绕 $\sigma$ 的横截组合形状。

例子与边界 ​

取顶点 $\{0,1,2\}$。若

$$K=\{\varnothing ,\{0\},\{1\},\{2\},\{0,1\},\{1,2\},\{0,2\}\},$$

其几何实现是三角形边界，拓扑上为圆。再加入 $\{0,1,2\}$，便得到填充三角形，拓扑上为圆盘。两者只差一个二维单形，却有不同的一维洞；这正是组合清单能够承载拓扑信息的原因。

集合族 $\{\{0,1,2\}\}$ 不是单纯复形，因为缺少该单形的边和顶点。两个实心三角形若在图中交叉于各自内部，而交点没有作为共同面细分出来，也不是该抽象复形的合法几何实现。facet 不等于“最高统一维数的面”：一条孤立边和一个填充三角形可以同时成为同一非纯复形的 facets。

奇异单形公理库奇异单形Singular simplex标准单形到拓扑空间的连续映射。是连续映射 ${\mathrm{\Delta }}^n\to X$，可以折叠或重叠；抽象单纯复形中的单形则是有限顶点集。二者名称相近但对象不同，不能把奇异链直接当作复形的面集。

推论与应用 ​

为每个单形选择定向后，可把 $k$-单形作为自由 Abel 群的基，并以交替删去顶点定义边界算子；完整构造与计算见单纯同调公理库单纯同调Simplicial homology以定向单形生成链群、以交替面和定义边界，并用循环模边界得到的同调理论。。复形还可通过重心细分改变组合粒度而保持几何实现的同胚类型。图是至多一维的单纯复形，而三角剖分把流形或多面体转成有限复形，使连续问题获得有限组合模型。

单纯复形与CW 复形公理库CW 复形CW complex · Cell complex通过按维粘贴开胞腔逐层构造，并满足闭包有限性与弱拓扑条件的空间。都通过胞块粘合描述空间，但前者要求所有块都是单形且交集严格是共同面，组合控制更强；后者允许更一般的附着映射。选择哪种模型取决于问题是更需要有限计算，还是更需要灵活的拓扑构造。

参考资料

• Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002, Ch. 2, simplicial and singular homology.
• James R. Munkres, Elements of Algebraic Topology, Addison-Wesley, 1984, Chs. 1–2, complexes, orientations, and simplicial homology.