单纯复形

单纯复形不是“一堆三角形的图片”，而是一份严格的粘合清单。清单说某个三角形存在时，它的三条边和三个顶点也必须存在；两个高维块只能沿清单中共同拥有的面相遇。顶点名称承担身份，向下封闭保证每个局部边界都已被记录，因此后续可以用矩阵处理边界与同调。

局部结构可由 star 与 link 观察。顶点或单形 $\sigma$ 的 star 收集所有包含 $\sigma$ 的单形及其面；link 收集与 $\sigma$ 不交、但并上 $\sigma$ 后仍在 $K$ 中的单形。star 描述邻域，link 描述围绕 $\sigma$ 的横截组合形状。

取顶点 $\{0,1,2\}$。若

其几何实现是三角形边界，拓扑上为圆。再加入 $\{0,1,2\}$，便得到填充三角形，拓扑上为圆盘。两者只差一个二维单形，却有不同的一维洞；这正是组合清单能够承载拓扑信息的原因。

集合族 $\{\{0,1,2\}\}$ 不是单纯复形，因为缺少该单形的边和顶点。两个实心三角形若在图中交叉于各自内部，而交点没有作为共同面细分出来，也不是该抽象复形的合法几何实现。facet 不等于“最高统一维数的面”：一条孤立边和一个填充三角形可以同时成为同一非纯复形的 facets。

奇异单形理路奇异单形Singular simplex标准单形到拓扑空间的连续映射。是连续映射 ${\mathrm{\Delta }}^n\to X$，可以折叠或重叠；抽象单纯复形中的单形则是有限顶点集。二者名称相近但对象不同，不能把奇异链直接当作复形的面集。

为每个单形选择定向后，可把 $k$-单形作为自由 Abel 群的基，并以交替删去顶点定义边界算子；完整构造与计算见单纯同调理路单纯同调Simplicial homology以定向单形生成链群、以交替面和定义边界，并用循环模边界得到的同调理论。。复形还可通过重心细分改变组合粒度而保持几何实现的同胚类型。有限简单无向图可视为至多一维的单纯复形；环与平行边不能直接当作不同的顶点子集。对于确实具有有限三角剖分的空间，才可由本页的有限复形取得有限组合模型。不能由此断言每个流形都有有限三角剖分：例如 $\mathbb{R}$ 非紧，而有限复形的几何实现是有限个紧单形的并。讨论非紧空间的三角剖分通常需要另行允许无限复形。

单纯复形与CW 复形理路CW 复形CW complex通过按维粘贴开胞腔逐层构造，并满足闭包有限性与弱拓扑条件的空间。都通过胞块粘合描述空间，但前者要求所有块都是单形且交集严格是共同面，组合控制更强；后者允许更一般的附着映射。选择哪种模型取决于问题是更需要有限计算，还是更需要灵活的拓扑构造。

由次序或共同交集生成高维面 ​

序复形理路有限偏序的序复形与同伦证书Order complex and order homotopy · Finite poset homotopy certificate · 序复形把有限偏序的全部比较链变成单纯复形，用逐点保序更新和可删除点日志交付连续同伦与链证书。把有限偏序的每条严格链作为单形。菱形的覆盖关系图看似一个环，但完整偏序还给传递边及两个二单形，因此其序复形可缩。输入图能简写次序，却不能代替全部单形清单。

另一种构造是覆盖神经理路有限子复形覆盖的神经定理Nerve theorem for finite subcomplex covers · Finite simplicial nerve lemma · 有限覆盖神经定理对所有非空交集可缩的有限子复形覆盖，构造保同伦型的神经及具体反序面映射，指出仅检查各块或两两交集为何不够。：若几块子复形有同一个非空交集，它们的标签才组成一面。三条闭边覆盖圆周时两两相交、三者不相交，神经仍只有三边，不能根据一维骨架自动填三角形。所有非空交集可缩时，神经才由这条定理保留原复形的同伦型。