Mayer–Vietoris 序列

交集中的一条链可以分别看成 $U$ 和 $V$ 中的链，但若要把“两份相同内容”作为冗余消掉，它们必须带相反符号。因此第一张链映射把 $a$ 送到 $(i_{\mathrm{\#}}a,-j_{\mathrm{\#}}a)$；下一张映射再把两分量放回 $X$ 并相加，得到 $a-a=0$。负号不是排版习惯，而是保证复合为零、使短正合列成立的代数结构。

$U$ 与 $V$ 中的类若在交集处相差一个类，差映射会把这份重复或不兼容信息记录下来；能够协调的两边链则通过和映射拼成 $X$ 中的链。长正合列逐维描述这个拼接过程：有些全局循环可以分别来自两边，有些却只能把两边的链拼起来形成，它们的接缝会被连接同态降一维送回 $U\cap V$。

连接同态可以直接从链读取。给定 $X$ 中的 $n$-循环 $z$，先充分细分并写成

因为 $\partial z=0$，有 $\partial u=-\partial v$；这条共同边界同时属于 $U$ 与 $V$，所以代表 $H_{n-1}(U\cap V)$ 中的类。按当前符号约定，

换一种分解只会改变一个来自前项的边界类，因此结果良定义。

用两个稍大的开弧带覆盖 $S^1$，使 $U$、$V$ 都可缩，而 $U\cap V$ 恰有两个可缩连通分支 $W_0,W_1$。约化同调中

后一个群由两个分支的差 $[w_1]-[w_0]$ 生成。相关正合片段化为

所以 ${\tilde{H}}_1(S^1)\cong \mathbb{Z}$。

链上可以看见这个同构。把有向圆周分成位于 $U$ 的弧链 $u$ 与位于 $V$ 的弧链 $v$，使 $u+v$ 绕圆周一周。$u$ 的边界是一端减另一端，两个端点分别落在 $W_0,W_1$；连接同态便把圆周基本类送到 $[w_1]-[w_0]$。一维洞不是藏在任一可缩开弧里，而是由交集有两个分支这一粘接信息产生。

同样把 $S^n$ 覆盖为两个可缩的加厚半球，交集形变收缩到 $S^{n-1}$，可递推得到

最终得到顶维 $\mathbb{Z}$、其余约化同调为零。该递推依赖两边可缩和交集的准确同伦型；只画一条“上半球—下半球”示意图而不核实覆盖条件并不足够。

若只取两个闭子集且其内部不覆盖 $X$，大奇异单形未必能通过允许的细分落进其中一边，短正合链复形便没有依据。特征为 $2$ 时 $-j_{\ast }=j_{\ast }$，负号在数值上不可见；在整数或一般系数下不能省略它。连接同态的整体正负号可能随教材约定改变，但一旦固定第一张差映射，整条序列必须保持一致。

同调正合列公理库同调正合列Exact sequence in homology空间对或链复形短正合列诱导的长正合群列。提供从短正合链复形到长正合列的代数机制，切除负责证明小链与全部奇异链计算同一同调。开覆盖公理库开集Open set拓扑中被指定为开放的子集，是邻域、连续性与局部构造的基本单位。和奇异单形公理库奇异单形Singular simplex标准单形到拓扑空间的连续映射。只在这一步承担几何职责；得到序列后，实际计算转化为已知群之间的核、像与连接映射。

Mayer–Vietoris 可递归计算球面、楔和与曲面的同调，也可比较空间在附加一块后哪些类被创造或消灭。它与 Seifert–van Kampen 定理都体现局部到整体，但前者处理各维阿贝尔同调群，后者处理基本群的推出结构；两者不能仅凭“都是粘接定理”而互换。上同调还有兼容的序列，并可进一步追踪杯积等乘法结构。