形式陈述

若 $X=U\cup V$$X=U\cup V$，其中 $U,V$$U,V$ 为开子空间，则存在自然长正合列

$$ \cdots\to H_n(U\cap V) \xrightarrow{(i_*,-j_*)} H_n(U)\oplus H_n(V) \xrightarrow{k_*+\ell_*} H_n(X) \xrightarrow{\partial} H_{n-1}(U\cap V)\to\cdots. $$$$\cdots \to H_n(U\cap V)\stackrel{(i_{\ast },-j_{\ast })}{\to }{H}_n(U)\oplus H_n(V)\stackrel{k_{\ast }+{\ell }_{\ast }}{\to }{H}_n(X)\stackrel{\partial }{\to }{H}_{n-1}(U\cap V)\to \cdots .$$

它来自链复形的短正合结构；严格的奇异链证明使用细分说明任意链可改写为落在 $U$$U$ 或 $V$$V$ 内的链。约化同调版本在低维尤其整洁。更一般地，可用满足内部覆盖条件的子空间对替代开覆盖。

直觉

把整体拆成两个可计算部分时，交集同时记录重复信息和粘合方式。正合列把“部分、交、整体”之间的信息流按维度连接起来。

例子与边界

把 $S^n$$S^n$ 分成两个可缩开半球，交集形变收缩到 $S^{n-1}$$S^{n-1}$，序列递推得到 $\widetilde H_n(S^n)\cong\mathbb Z$${\tilde{H}}_n(S^n)\cong \mathbb{Z}$。对两个圆周的楔和，可取交集为可缩邻域，得到一维同调为 $\mathbb Z^2$${\mathbb{Z}}^2$。若只用两个闭集且其内部不覆盖 $X$$X$，链的细分论证可能失效，不能无条件套用。映射中的负号确保复合为零；在特征 $2$$2$ 系数下负号不可见，但整数系数下不可省略。

推论与应用

Mayer–Vietoris 序列是同调中的局部到整体计算器，用于球面、曲面、楔和、流形开覆盖和持久同调中的空间分解。

参考资料

• Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002，Ch. 2, Mayer–Vietoris sequence and computations。
• Glen E. Bredon, Topology and Geometry, Springer, 1993，Ch. IV, excision and Mayer–Vietoris。