同调正合列

正合性逐点表达“上一箭头制造出的元素，恰好是下一箭头看不见的元素”。长正合列把空间、子空间与相对对象的同调排成一条信息守恒链；连接同态把一个相对循环的边界落回子空间，说明不同维度为何会相互耦合。它不是若干群的独立列表，箭头本身携带粘合信息。

对 $n\ge 1$ 的圆盘及其边界 $(D^n,S^{n-1})$，绝对群大多简单，长正合列给出 $H_n(D^n,S^{n-1})\cong \mathbb{Z}$。连接同态会降低维数一，并依赖短正合列的自然结构，不是任意选取的映射。正合不表示每个短片都是分裂正合列公理库分裂正合列Split exact sequence · Splitting lemma短正合列通过同态截面或回缩与子对象和商对象相容地分解。；即使阿贝尔群列正合，也未必能把中间项写成两端直和。相对同调不是简单的集合差 $X\setminus A$ 的同调，而是把 $A$ 中链在商中视为零。

对区间及其端点对 $(I,\partial I)$，长正合列包含

其中 $H_0(\partial I)\cong {\mathbb{Z}}^2\to \mathbb{Z}$ 把两个端点送到同一个连通分支，其核由端点差 $(1,-1)$ 生成。因此 $H_1(I,\partial I)\cong \mathbb{Z}$，相对一维基本类的边界正是“终点减起点”。

相对同调公理库相对同调Relative homology用商链复形 $C_*(X)/C_*(A)$ 测量空间相对于子空间新增的同调。的短正合链复形，经核像关系产生长正合列公理库正合列Exact sequence相邻同态满足前一映像等于后一核的一列模与同态。；奇异链复形公理库奇异链复形Chain complex in topology · Singular chain complex · 拓扑链复形由空间中的奇异单形生成链群，并以交替面映射组成满足边界平方为零的链复形。中的 snake/connecting 构造给出跨维箭头。切除定理与Mayer–Vietoris 序列公理库Mayer–Vietoris 序列Mayer–Vietoris sequence用两个开子空间及其交的同调计算并集同调的长正合列。都依靠这套机制，把局部对与覆盖信息转成全局同调计算。