形式陈述

群列

$$ \cdots\to A_{n+1}\xrightarrow{f_{n+1}}A_n \xrightarrow{f_n}A_{n-1}\to\cdots $$$$\cdots \to A_{n+1}\stackrel{f_{n+1}}{\to }{A}_n\stackrel{f_n}{\to }{A}_{n-1}\to \cdots$$

若每处满足 $\operatorname{im}f_{n+1}=\ker f_n$$\mathrm{im}{f}_{n+1}=\ker f_n$，则称正合。链复形短正合列

$$ 0\to C'_\bullet\to C_\bullet\to C''_\bullet\to0 $$$$0\to C_{\bullet }^{\prime }\to C_{\bullet }\to C_{\bullet }^{″}\to 0$$

自然诱导同调长正合列

$$ \cdots\to H_n(C')\to H_n(C)\to H_n(C'') \xrightarrow{\partial}H_{n-1}(C')\to\cdots, $$$$\cdots \to H_n(C^{\prime })\to H_n(C)\to H_n(C^{″})\stackrel{\partial }{\to }{H}_{n-1}(C^{\prime })\to \cdots ,$$

其中连接同态 $\partial$$\partial$ 由“提升代表元、取边界、再回到子复形”构造。对空间对 $A\subseteq X$$A\subseteq X$，相对链复形 $C_*(X,A)=C_*(X)/C_*(A)$$C_{\ast }(X,A)=C_{\ast }(X)/C_{\ast }(A)$ 给出

$$ \cdots\to H_n(A)\to H_n(X)\to H_n(X,A) \xrightarrow{\partial}H_{n-1}(A)\to\cdots. $$$$\cdots \to H_n(A)\to H_n(X)\to H_n(X,A)\stackrel{\partial }{\to }{H}_{n-1}(A)\to \cdots .$$

直觉

长正合列把一个对象中缺失的信息精确传给相邻维度：某个类无法从前一项来，恰好由它在下一项产生的连接障碍检测。

例子与边界

对 $n\ge1$$n\ge 1$ 的圆盘及其边界 $(D^n,S^{n-1})$$(D^n,S^{n-1})$，绝对群大多简单，长正合列给出 $H_n(D^n,S^{n-1})\cong\mathbb Z$$H_n(D^n,S^{n-1})\cong \mathbb{Z}$。连接同态会降低维数一，并依赖短正合列的自然结构，不是任意选取的映射。正合不表示每个短片都分裂；即使阿贝尔群列正合，也未必能把中间项写成两端直积。相对同调不是简单的集合差 $X\setminus A$$X\setminus A$ 的同调，而是把 $A$$A$ 中链在商中视为零。

推论与应用

同调正合列是计算空间对、商空间、附着胞腔和局部同调的基本工具，并把几何包含关系转化为可追踪的代数障碍。

参考资料

• Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002，Ch. 2, exact sequences and relative homology。
• Glen E. Bredon, Topology and Geometry, Springer, 1993，Ch. IV, long exact homology sequences。