胞腔同调

形式陈述 ​

设 $X$ 是CW 复形公理库CW 复形CW complex · Cell complex通过按维粘贴开胞腔逐层构造，并满足闭包有限性与弱拓扑条件的空间。，$X^n$ 为其 $n$-骨架。定义胞腔链群

$$C_n^{\mathrm{cell}}(X)=H_n(X^n,X^{n-1};\mathbb{Z}).$$

由切除与圆盘对边界的相对同调，

$$C_n^{\mathrm{cell}}(X)\cong \underset{n\text{-胞腔 }{e}_{\alpha }^n}{⨁}\mathbb{Z},$$

所以每个 $n$-胞腔给一个基生成元；无限 CW 复形中这里是直和，不是允许无限系数族的直积。

胞腔边界

$$d_n:C_n^{\mathrm{cell}}(X)\to C_{n-1}^{\mathrm{cell}}(X)$$

是以下两步的复合：先取三元组或空间对长正合列中的连接同态

$$H_n(X^n,X^{n-1})⟶H_{n-1}(X^{n-1}),$$

再映到

$$H_{n-1}(X^{n-1},X^{n-2}).$$

正合性与自然性给出 $d_{n-1}{d}_n=0$。胞腔同调定理断言

$$H_n(C_{\ast }^{\mathrm{cell}}(X))\cong H_n^{\mathrm{sing}}(X;\mathbb{Z})$$

并且该同构对胞腔映射自然。证明骨架使用骨架过滤和长正合列公理库同调正合列Exact sequence in homology空间对或链复形短正合列诱导的长正合群列。：相对群 $H_k(X^n,X^{n-1})$ 除 $k=n$ 外为零，逐层正合列因而把奇异同调压缩到上述胞腔链复形。

边界矩阵还能由附着映射计算。$n$-胞腔 $e_{\alpha }^n$ 对 $(n-1)$-胞腔 $e_{\beta }^{n-1}$ 的系数，是把附着映射 $S^{n-1}\to X^{n-1}$ 再压缩其余 $(n-1)$-胞腔后所得映射 $S^{n-1}\to S^{n-1}$ 的 degree。

直觉 ​

奇异链使用所有连续单形，生成元极多。CW 骨架已经说明空间在哪些维数加入了哪些新块；胞腔同调只为每个胞腔保留一个生成元，并把复杂性集中到附着映射的整数 degree。它不是另一套随意定义的群，而是骨架过滤把奇异同调压缩后的有限或稀疏模型。

胞腔的几何边缘本身不能直接相加成代数边界。一个附着球面可以多次绕过低维胞腔，方向还会抵消；连接同态和 degree 正是记录这些绕行次数的机制。

例子与边界 ​

$S^n$ 可取一个 $0$-胞腔和一个 $n$-胞腔。除 $C_0\cong \mathbb{Z}$、$C_n\cong \mathbb{Z}$ 外链群为零，所有边界为零，因此

$$H_0(S^n)\cong \mathbb{Z},H_n(S^n)\cong \mathbb{Z}.$$

对 ${\mathbb{RP}}^2$ 的标准 CW 结构，每维 $0,1,2$ 各有一个胞腔，且

$$C_2\stackrel{2}{\to }{C}_1\stackrel{0}{\to }{C}_0.$$

二胞腔附着映射在一维胞腔上绕两次，所以 $d_2$ 是乘 $2$。由此

$$H_0\cong \mathbb{Z},H_1\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z},H_2=0.$$

这个例子也说明只数胞腔不足以得到同调；相同链群配不同边界映射会给不同结果。

边界系数依赖胞腔定向，换定向会使相应行或列变号，但同调群不变。胞腔同调与奇异同调是自然同构，不是两组链在定义上逐项相同。若空间没有给定 CW 结构，就不能凭空使用胞腔链；先证明存在合适 CW 模型是必要前提。

推论与应用 ​

胞腔同调把相对同调公理库相对同调Relative homology用商链复形 $C_*(X)/C_*(A)$ 测量空间相对于子空间新增的同调。、骨架过滤与整数矩阵计算连起来。与单纯同调公理库单纯同调Simplicial homology以定向单形生成链群、以交替面和定义边界，并用循环模边界得到的同调理论。相比，它往往使用更少生成元；与奇异同调相比，它牺牲了直接适用于任意空间的便利，换来实际可算性。

胞腔边界矩阵可继续用于 Euler 示性数、映射诱导同态和基本同调计算。抽取这一链复形后，CW 复形页面只需负责胞腔附着与骨架本身，不应再承担连接同态、degree 公式和完整同调证明。

参考资料

• Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002, §2.2, cellular homology.
• J. Peter May, A Concise Course in Algebraic Topology, University of Chicago Press, 1999, Ch. 14, cellular chains and homology.