杯积

上同调群只记录每个维度有多少类，杯积还记录不同类怎样相互作用。链对角近似把一个单形分成前后两部分，让一个 $p$-上链与一个 $q$-上链组合成 $p+q$-上链；在上同调层面，依赖的链级选择消失。乘法通常只分次交换，即交换两个齐次类会出现 $(-1{)}^{pq}$ 符号。

环面 $T^2$ 有两个一维生成元 $a,b$，其杯积 $a⌣b$ 生成 $H^2(T^2;\mathbb{Z})$。空间 $S^2\vee S^1\vee S^1$ 与环面具有相同的整数同调群，但前者任意两个正次数上同调类的杯积都为零，因此杯积能区分加法同调完全相同的空间。分次交换通常只在上同调类上成立，所选奇异上链模型的杯积在链层面不必严格交换。若 $p=q$ 为奇数，则 $2{\alpha }^2=0$；当 $2$ 在系数环中可逆时立即推出 ${\alpha }^2=0$，而整数系数下平方仍可能是非零的 $2$-挠元。

在 $S^2\times S^2$ 上，令 $a,b\in H^2(S^2\times S^2;\mathbb{Z})$ 分别由两个投影拉回球面的生成元。因为单个 $S^2$ 没有四维上同调，$a^2=b^2=0$；但

生成 $H^4(S^2\times S^2;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$。加法群只记录有两个二维生成元，杯积进一步记录它们如何共同产生顶维基本类。

上同调公理库上同调Cohomology对链复形取到系数群的同态形成上链复形，再取上同调得到反变不变量。通过杯积成为分次环，符号规律来自外代数公理库外代数Exterior algebra把张量代数按 v⊗v=0 的关系取商所得的分次代数。式交换。同伦等价公理库同伦等价Homotopy equivalence存在互为同伦逆的连续映射时，两个空间具有相同的同伦类型。保持该环结构，因此它比 Betti 数更强；在流形中，杯积与 Poincaré 对偶配对，特征类和交叉理论也以这种乘法为语言。