形式陈述

对交换系数环 $R$$R$，杯积是在上同调上的自然双线性映射

$$ \smile:H^p(X;R)\times H^q(X;R)\to H^{p+q}(X;R). $$$$⌣:H^p(X;R)\times H^q(X;R)\to H^{p+q}(X;R).$$

在奇异上链上可用 Alexander–Whitney 对角近似定义：若 $\varphi\in C^p$$\phi \in C^p$、$\psi\in C^q$$\psi \in C^q$，则对奇异 $(p+q)$$(p+q)$-单形 $\sigma$$\sigma$，

$$ (\varphi\smile\psi)(\sigma) =\varphi(\sigma|[v_0,\ldots,v_p])\, \psi(\sigma|[v_p,\ldots,v_{p+q}]). $$$$(\phi ⌣\psi )(\sigma )=\phi (\sigma |[v_0,\dots ,v_p])\psi (\sigma |[v_p,\dots ,v_{p+q}]).$$

它与余边界满足分次 Leibniz 公式，故下降到上同调。上同调杯积有单位、结合，并在上同调层面分次交换：

$$ \alpha\smile\beta=(-1)^{pq}\beta\smile\alpha. $$$$\alpha ⌣\beta =(-1{)}^{pq}\beta ⌣\alpha .$$

直觉

一个上同调类测量某类方向；杯积把两个测量组合成对同时跨越两组方向的高维链的测量，因此能记录洞之间如何相互交织。

例子与边界

环面 $T^2$$T^2$ 有两个一维生成元 $a,b$$a,b$，其杯积 $a\smile b$$a⌣b$ 生成 $H^2(T^2;\mathbb Z)$$H^2(T^2;\mathbb{Z})$。空间 $S^2\vee S^1\vee S^1$$S^2\vee S^1\vee S^1$ 与环面具有相同的整数同调群，但前者任意两个正次数上同调类的杯积都为零，因此杯积能区分加法同调完全相同的空间。分次交换通常只在上同调类上成立，所选奇异上链模型的杯积在链层面不必严格交换。若 $p=q$$p=q$ 为奇数，则 $2\alpha^2=0$$2{\alpha }^2=0$；当 $2$$2$ 在系数环中可逆时立即推出 $\alpha^2=0$${\alpha }^2=0$，而整数系数下平方仍可能是非零的 $2$$2$-挠元。

推论与应用

杯积使上同调成为分次环，用于区分同调群相同的空间、证明乘积空间结果、定义特征类和建立 Poincaré 对偶。

参考资料

• Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002，Ch. 3, cup product and cohomology rings。
• Glen E. Bredon, Topology and Geometry, Springer, 1993，Ch. VI, products in cohomology。