Steenrod 平方 | Codeboy's Blog

形式陈述

对每个 $i\ge0$ ，第 $i$ 个 Steenrod 平方是模 $2$ 上同调的自然加性映射

\operatorname{Sq}^i:H^n(X;\mathbb F_2) \longrightarrow H^{n+i}(X;\mathbb F_2).

它们是特定的上同调运算，由下列公理刻画：

$\operatorname{Sq}^0=\operatorname{id}$ ；
若 $x\in H^n$ 且 $i>n$ ，则 $\operatorname{Sq}^i(x)=0$ ；
顶平方满足 $\operatorname{Sq}^n(x)=x\smile x$ ，其中 $\smile$ 是杯积；
自然性： $f^*\operatorname{Sq}^i(x)=\operatorname{Sq}^i(f^*x)$ ；
Cartan 公式：

\operatorname{Sq}^k(x\smile y) =\sum_{i+j=k}\operatorname{Sq}^i(x)\smile\operatorname{Sq}^j(y).

在约化上同调中，各 $\operatorname{Sq}^i$ 与悬挂同构交换，因而是稳定运算。复合还满足 Adem 关系：当 $0<a<2b$ 时，

\operatorname{Sq}^a\operatorname{Sq}^b =\sum_{t=0}^{\lfloor a/2\rfloor} \binom{b-t-1}{a-2t} \operatorname{Sq}^{a+b-t}\operatorname{Sq}^{t},

二项式系数在 $\mathbb F_2$ 中读取。

直觉

普通杯积只允许把两个已经给定的类相乘；Steenrod 平方从一个类自然地产生更高次数的类，并且把“自交”扩展为一整族受控的升维探针。顶平方真的是 $x^2$ ，较低平方则保留链级对角近似中普通杯积看不见的相交修正。

模 $2$ 系数消除了交换时的符号，却没有消除结构：不稳定条件规定一个 $n$ 维类最多被升高 $n$ 次，Cartan 公式决定运算怎样穿过乘积，Adem 关系则把过多的复合约化为许可顺序。三者共同阻止把 $\operatorname{Sq}^i$ 当成任意的“升次数算子”。

例子与边界

无限实射影空间满足

H^*(\mathbb{RP}^{\infty};\mathbb F_2) \cong\mathbb F_2[a],\qquad |a|=1.

不稳定公理和顶平方给

\operatorname{Sq}^0(a)=a, \qquad \operatorname{Sq}^1(a)=a^2, \qquad \operatorname{Sq}^i(a)=0\ (i>1).

把总平方记为 $\operatorname{Sq}=\sum_i\operatorname{Sq}^i$ ，Cartan 公式给

\operatorname{Sq}(a^m)=(a+a^2)^m,

故可逐项复算

\operatorname{Sq}^i(a^m)=\binom{m}{i}a^{m+i}.

此处系数在 $\mathbb F_2$ 中读取。例如 $\operatorname{Sq}^1(a^3)=a^4$ 、 $\operatorname{Sq}^2(a^3)=a^5$ ，因为 $\binom31=\binom32=3\equiv1\pmod2$ ；而 $\operatorname{Sq}^1(a^2)=0$ ，因为 $\binom21$ 为偶数。这不是换数字例子，而是一个公式同时展示不稳定性、Cartan 乘法与模 $2$ 奇偶性如何协同。

Steenrod 平方只以 $\mathbb F_2$ 为本页系数。把同一符号直接作用到整数上同调是未定义的；奇素数处对应的是约化幂 $P^i$ 与 Bockstein，而非照抄 $\operatorname{Sq}^i$ 。此外， $\operatorname{Sq}^n(x)=x^2$ 不保证非零：若目标群 $H^{2n}(X;\mathbb F_2)$ 为零，顶平方同样为零。稳定性也不取消不稳定公理；它说明跨悬挂的兼容，而不是允许 $i>n$ 的类复活。

推论与应用

Steenrod 平方能检测空间的上同调环之外的同伦信息。若一个假想映射或胞腔附着与自然性、Cartan 公式冲突，就不可能存在；经典应用包括 Hopf 不变量限制、球面上只有特定维数可能出现除法代数，以及用 Wu 公式从平方运算恢复流形的 Stiefel–Whitney 类。

所有平方的复合在 Adem 关系下组成模 $2$ Steenrod 代数，任意空间的模 $2$ 上同调都是其不稳定模。“不稳定”不是贬义，而是额外条件 $\operatorname{Sq}^i x=0$ （ $i>|x|$ ）和顶平方公式。计算中应同时保留次数、系数与乘积结构；只比较各维向量空间维数会漏掉整个运算作用。

参考资料

Norman E. Steenrod and David B. A. Epstein, Cohomology Operations, Princeton University Press, 1962, Chapter I, §§6–7, and Chapter II, §§1–2.
Robert E. Mosher and Martin C. Tangora, Cohomology Operations and Applications in Homotopy Theory, Harper & Row, 1968, Chapters 1–2.
J. Peter May, A Concise Course in Algebraic Topology, University of Chicago Press, 1999, Chapter 22, §5, and Chapter 25, §4.

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