同伦等价

同胚要求每个点都有唯一对应点，往返立即还原；同伦等价允许往返后先损失一些信息，只要能通过连续变形恢复到恒等映射。可收缩的厚度、树枝因而可以消去，但洞的绕行信息不能随意消失。

这里变形的是映射，不要求每个中间时刻都是同胚。把一张圆盘压向中心时，最后一个映射把所有点合到一起，依旧是合法同伦。因而同伦等价不保持维数、紧致性或局部形状。

令 $A=\{z\in \mathbb{C}:1\le |z|\le 2\}$，$f:A\to S^1$ 为 $f(z)=z/|z|$，$g:S^1\hookrightarrow A$ 为包含。则 $f\circ g$ 是恒等，而

把 ${\mathrm{id}}_A$ 变到 $g\circ f$；半径为 $(1-t)|z|+t\in [1,2]$，所以全过程留在圆环内。这个明确的同伦说明圆环与圆周同伦等价。

${\mathbb{R}}^n$ 与一点同伦等价，收缩为 $H(x,t)=(1-t)x$；当 $n\ge 1$ 时，它们并不同胚理路同胚Homeomorphism自身与逆映射都连续的双射，给出两个拓扑空间之间可逆的开集翻译。，因为前者有多个点而后者只有一个。$n=0$ 时两者本来就是单点。同样的直线收缩不能用于穿孔平面，因为终点原点已被删去，这正是空间中的洞阻止收缩的方式。

单个数值不变量不足以判断同伦类型。圆周 $S^1$ 与环面 $S^1\times S^1$ 的 Euler 示性数均为 $0$，但基本群分别是 $\mathbb{Z}$ 与 ${\mathbb{Z}}^2$，所以不同伦等价。从胞腔计数看，圆周给出 $1-1=0$，环面给出 $1-2+1=0$；这个交替和没有记录两种绕圈方向之间的全部结构。

形变收缩理路形变收缩Deformation retract · Strong deformation retract在整个同伦过程中固定子空间，把母空间连续压到该子空间。提供同伦等价的常用构造：包含映射与收缩映射互为同伦逆。计算时先找这种简化，通常比直接写出所有回路或链容易。

同伦等价诱导同调群理路奇异同调Singular homology由奇异单形生成链复形，再以循环模边界得到的拓扑不变量。与上同调群同构；对道路连通空间，选好基点及必要的基点变化路径，也得到基本群理路基本群Fundamental group基点回路按端点固定同伦分类后形成的群。同构。因此不变量不同能否定同伦等价，相同却通常不能肯定。

同伦群判据需要明确范围：若 CW 复形之间的连续映射 $f:X\to Y$ 在道路分支集合上诱导双射，并且对每个基点 $x\in X$、每个 $n\ge 1$ 都诱导同构 $f_{\ast }:{\pi }_n(X,x)\to {\pi }_n(Y,f(x))$，Whitehead 定理断言该映射为同伦等价。这不是仅检查同调群的结论，也不是任意拓扑空间都自动满足的结论。

有限数据也可以认证指定的同伦等价 ​

Quillen偏序纤维引理理路Quillen有限偏序纤维引理Quillen poset fiber lemma · McCord–Quillen theorem · Quillen Theorem A for finite posets由每个下理想原像的可缩性认证指定序复形映射是同伦等价，并通过有限映射柱的两份删点序列证明结论。给一类可检查的构造：保序映射 $f:P\to Q$ 的每个下理想原像 $\{x:f(x)\le y\}$ 若非空且可缩，则指定序复形映射就是同伦等价。证明在有限映射柱中分别删去两侧顶点，再用点态比较连接 $i$ 与 $jf$，没有从几个数值不变量猜测同伦逆存在。

关系复形对偶理路Dowker关系复形对偶Dowker relation duality · Dowker complexes · 关系的共同见证复形从有限关系的共同列见证与共同行见证建立两侧复形，给出同伦等价的反序面映射，并证明关系扩张时诱导同调自然相容。把每个纤维具体化为某个共同邻居集合的全部非空子集，最大元直接给可缩证据。例如四行三列关系可产生一个有两块三角形的行侧和一个只有三边的列侧；两侧不必同胚或组合相同，仍由这份指定映射保持同伦型。