形式陈述

空间 $X,Y$ 同伦等价，若存在连续映射 $f:X\to Y$、$g:Y\to X$，使

$$g\circ f\simeq {\mathrm{id}}_X,f\circ g\simeq {\mathrm{id}}_Y.$$

它弱于同胚，但保持基本群、同调群等同伦不变量。

直觉

同伦等价允许连续压扁或展开不影响“洞与连接方式”的细节，只保留粗粒度拓扑结构。

例子与边界

圆环与其中轴圆同伦等价但不同胚。单点与任意可缩空间同伦等价。互为同伦逆不要求逐点互逆。

推论与应用

它组织形变收缩、可缩性、CW 复形和代数拓扑中的全部同伦不变量。

参考资料

• Allen Hatcher, Algebraic Topology (2002), homotopy type.
• J. Peter May, A Concise Course in Algebraic Topology (1999), homotopy equivalences.