同伦等价

同伦等价允许两个映射互为“连续可逆到变形意义”，所以可把树枝、厚度等可收缩附属部分压掉。它保留所有同伦不变量，却不要求点一一对应，也不保留局部维数或边界形状。构造时必须同时给出两个方向的映射及两条复合同伦，仅有同调群相同远远不够。

圆环与其中轴圆同伦等价但不同胚。单点与任意可缩空间同伦等价。互为同伦逆不要求逐点互逆。

圆周与两个圆的楔和都满足 Euler 示性数为零，但其基本群分别是 $\mathbb{Z}$ 与自由群 $F_2$，所以它们不同伦等价。这个例子说明，一个数值不变量相同只能排除某些差异，不能反向完成分类。互为同伦逆也只要求复合映射公理库函数复合Function composition · Composition of maps按先 f 后 g 的次序把映射串联为 g∘f。同伦于恒等映射，不要求逐点互逆。

同伦公理库同伦Homotopy在连续参数下把一个连续映射变形成另一个连续映射。把复合映射放宽到恒等映射的变形，形成同伦等价；形变收缩公理库形变收缩Deformation retract · Strong deformation retract在整个同伦过程中固定子空间，把母空间连续压到该子空间。给出最具体的实例。基本群公理库基本群Fundamental group基点回路按端点固定同伦分类后形成的群。、同调公理库奇异同调Singular homology由奇异单形生成链复形，再以循环模边界得到的拓扑不变量。与上同调公理库上同调Cohomology对链复形取到系数群的同态形成上链复形，再取上同调得到反变不变量。都由其保持。CW 复形中，弱同伦等价在 Whitehead 条件下还能提升为同伦等价。