形式陈述

设 $V$$V$ 为有限维向量空间，$T:V\to W$$T:V\to W$ 为线性映射。则

$$ \dim V =\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T. $$$$\dim V=\dim \ker T+\dim \mathrm{im}T.$$

记

$$ \operatorname{nullity}T=\dim\ker T, \qquad \operatorname{rank}T=\dim\operatorname{im}T, $$$$\mathrm{nullity}T=\dim \ker T,\mathrm{rank}T=\dim \mathrm{im}T,$$

便有 $\dim V=\operatorname{nullity}T+\operatorname{rank}T$$\dim V=\mathrm{nullity}T+\mathrm{rank}T$。

证明取 $\ker T$$\ker T$ 的基 $v_1,\ldots,v_k$$v_1,\dots ,v_k$，扩充为 $V$$V$ 的基 $v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_r$$v_1,\dots ,v_k,u_1,\dots ,u_r$；可验证 $T(u_1),\ldots,T(u_r)$$T(u_1),\dots ,T(u_r)$ 是像空间的一组基。

直觉

定义域中的自由方向分成两类：被映射压扁为零的核方向，以及在像中留下独立变化的方向。两者数量恰好加回原空间维数。

例子与边界

矩阵 $A\in F^{m\times n}$$A\in F^{m\times n}$ 对应映射 $F^n\to F^m$$F^n\to F^m$，故

$$ \operatorname{rank}A+\dim\{x:Ax=0\}=n. $$$$\mathrm{rank}A+\dim \{x:Ax=0\}=n.$$

公式使用定义域维数，不是陪域维数。有限维假设保证普通整数加法形式；无限维也有基数版本，但基数减法和“自由变量数”直觉需谨慎。

推论与应用

秩–零化度定理解释线性方程解空间维数、单射与满射条件，并推出有限维同维空间之间线性映射“单射当且仅当满射”。它还连接行列秩、商空间与第一同构定理。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed., Springer, 2024，§3B。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 4。