秩–零化度定理 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $V$ 为有限维向量空间， $W$ 可以有限维也可以无限维， $T:V\to W$ 为线性映射。记

\operatorname{nullity}T=\dim\ker T, \qquad \operatorname{rank}T=\dim\operatorname{im}T,

其中后一项正是线性映射的秩。秩–零化度定理断言

\dim V =\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T.

矩阵版本随即得到：若 $A\in F^{m\times n}$ 表示映射 $F^n\to F^m$ ，那么

\operatorname{rank}A+\dim\{x\in F^n:Ax=0\}=n.

基延拓证明

取 $\ker T$ 的一组基

k_1,\ldots,k_s,

再把它延拓为 $V$ 的基

k_1,\ldots,k_s,u_1,\ldots,u_r.

关键不是一句“容易验证”，而是分别证明 $T(u_1),\ldots,T(u_r)$ 生成像且线性无关。对任意 $y\in\operatorname{im}T$ ，可写 $y=T(v)$ ；把 $v$ 在上述基下展开为

v=\sum_{i=1}^sa_i k_i+\sum_{j=1}^rb_j u_j,

由于 $T(k_i)=0$ ，便有

y=\sum_{j=1}^rb_jT(u_j).

所以这些像向量生成 $\operatorname{im}T$ 。若

\sum_{j=1}^rb_jT(u_j)=0,

则 $\sum_jb_ju_j\in\ker T$ ，因此它也能写成 $\sum_i a_i k_i$ 。移到一边后得到原延拓基的一条线性关系；基的线性无关迫使所有 $a_i,b_j$ 都为零。故 $T(u_1),\ldots,T(u_r)$ 也是线性无关的，确为像的一组基。于是

\dim V=s+r =\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T.

商空间证明

同一结构也可由商空间读出。映射

\overline T:V/\ker T\longrightarrow\operatorname{im}T, \qquad v+\ker T\longmapsto T(v)

定义良好：若两个代表元相差核中的向量，它们有相同像。它显然满射，而 $\overline T(v+\ker T)=0$ 又恰好意味着 $v\in\ker T$ ，所以它也单射。于是

V/\ker T\cong\operatorname{im}T.

有限维时 $\dim(V/\ker T)=\dim V-\dim\ker T$ ，再次得到公式。这是向量空间第一同构定理与秩–零化度定理的同一幅图像：先把所有无法被 $T$ 区分的向量压成同一陪集，剩余信息恰好就是像。

直觉

线性映射会把定义域中的某些方向彻底压扁。沿核移动时，输出毫无变化；把这部分差异忽略以后，每一个剩余方向都在像中留下一个独立方向。定理说这两部分既没有漏记，也没有重复记：被压掉的自由度加上仍可观察的自由度，正好还原定义域的全部自由度。

基延拓证明把这幅图变成可操作的坐标。先选出所有“无输出方向” $k_i$ ，再补上 $u_j$ 直到覆盖 $V$ 。补入的向量在映射后不可能突然产生新的依赖；若产生了，某个非零的 $u_j$ 组合就会落回核，与“ $k_i$ 已经完整描述核且整组向量是基”矛盾。正是这个独立性论证，保证像的维数不是一个松散上界，而是剩余方向的精确数目。

陪域 $W$ 只提供输出可以落在哪里，并不强迫映射使用其中所有方向。因而公式右侧出现的是 $\dim\operatorname{im}T$ ，不是 $\dim W$ ；一个很大的陪域可以只接收到一条直线，一个较小的陪域则会限制秩的最大值，却不会改变定义域的自由度总账。

例子与边界

令 $P_3$ 表示次数不超过 $3$ 的实多项式空间，并考虑微分映射

D:P_3\to P_2, \qquad D(p)=p'.

核由常数多项式组成，所以 $\ker D=\operatorname{span}\{1\}$ ，零化度为 $1$ 。基 $1,x,x^2,x^3$ 经映射得到 $0,1,2x,3x^2$ ；后三项生成且线性无关，因此像是整个 $P_2$ ，秩为 $3$ 。于是

\dim P_3=4=1+3 =\dim\ker D+\dim\operatorname{im}D.

这个例子还说明核基的补向量并不必在像中保持原来的长度或系数，定理只追踪独立方向。把 $x,x^2,x^3$ 换成任何能与 $1$ 合成 $P_3$ 基的三项，所得三个像仍会构成 $P_2$ 的基。

对线性方程 $Ax=b$ ，若有一个特解 $x_0$ ，全部解恰为仿射空间

x_0+\ker A.

因此一个 $m\times n$ 矩阵秩为 $r$ 时，只要方程可解，解集就有 $n-r$ 个自由方向。这里必须先检查 $b\in\operatorname{im}A$ ；秩–零化度给出解集维数，却不保证任意右端都可达。若 $m=n$ ，则核为零、秩为 $n$ 、单射和满射彼此等价；若 $n>m$ ，由 $\operatorname{rank}A\le m<n$ 立即得到非零核，所以映射不可能单射。

无限维向量空间仍可在选择公理下用基延拓得到基数等式

\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T.

但无限基数的加法不能像整数那样反向相减。例如 $\aleph_0+1=\aleph_0$ ，所以知道定义域和像都可数维，并不能由“相减”恢复核维数。有限维假设保护的是熟悉的数值差公式和相应判定法，而不是说核—商—像结构在无限维时完全消失。

推论与应用

把核的包含映射与到像的满射写在一起，可得短正合列

0\longrightarrow\ker T \longrightarrow V \xrightarrow{T}\operatorname{im}T \longrightarrow0.

秩–零化度就是“有限维在短正合列上可加”的最基本实例。群、模和同调代数中的核、余核与 Euler 特征数都延续这条组织方式，只是维数可能换成长度、秩或交替和，并需要相应有限性条件。

在线性代数中，核与像的维数给出单射、满射和可逆性的快速判据；在线性方程中，它把主元数与自由变量数相加为列数；在图论中，关联矩阵的核记录环流自由度，像记录可由边界产生的顶点信号。每个应用都必须先指出具体线性映射，不能只看到两个维数便套公式。

有限维矩阵的SVD进一步为行空间、零空间、列空间和左零空间选择正交规范基。非零奇异值的个数给秩，零奇异方向给核，所以它把定理中的抽象分拆变成数值坐标；浮点阈值决定的是数值秩模型，不会改写精确代数中的恒等式。

参考资料

Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed., Springer, 2024, §3B.
Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011, Ch. 4.

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