形式陈述

对有限维实或复内积空间间的映射 $T:V\to W$，存在正交规范基和非负奇异值，使矩阵为 $U\mathrm{\Sigma }{V}^{\ast }$。${\sigma }_i^2$ 是 $T^{\ast }T$ 的特征值，正奇异值数量等于 $\mathrm{rank}T$。

直觉

任何线性映射都能分解为：旋转到自然输入方向、沿正交方向伸缩、再旋转到输出方向。

例子与边界

剪切矩阵不能正交对角化，却仍有 SVD。奇异值不等于一般特征值绝对值；重奇异值对应的向量不唯一。

推论与应用

给出最佳低秩逼近、伪逆、条件数、PCA 和数据压缩的统一理论。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed. (2024), singular values and SVD.
• Jim Hefferon, Linear Algebra (2020/2026 site), singular value decomposition.