形式陈述

有限维线性算子 $T:V\to V$$T:V\to V$ 称可对角化，若存在一组基全由 $T$$T$ 的特征向量组成；等价地，存在可逆矩阵 $P$$P$ 使

$$ P^{-1}AP=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n). $$$$P^{-1}AP=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n).$$

又等价于 $V$$V$ 是各特征空间的直和，或极小多项式在底域上分裂为互异的一次因子。若特征多项式有 $n$$n$ 个互异根，则必可对角化，但这只是充分条件：重复特征值仍可能有足够多独立特征向量。可对角化性依赖底域。相似对角化不同于合同对角化，也不保证所用基正交。

直觉

对角化寻找一组与变换天然对齐的坐标轴；在这些轴上，复杂线性作用退化为每个坐标独立缩放。

例子与边界

任意对角矩阵已可对角化。单位矩阵的唯一特征值重复 $n$$n$ 次，却有整个空间作为特征空间，仍可对角化。剪切矩阵 $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ 的极小多项式为 $(t-1)^2$$(t-1{)}^2$，故不可对角化。实平面旋转在 $\mathbb R$$\mathbb{R}$ 上不可对角化，在 $\mathbb C$$\mathbb{C}$ 上可对角化。$n$$n$ 个特征值按重数计并不自动给出 $n$$n$ 个独立特征向量。对角化矩阵 $P$$P$ 的列是特征向量，顺序和缩放均不唯一。只有正规算子等额外条件才能保证存在正交或酉特征基。

推论与应用

对角化简化矩阵幂、线性递推、常系数微分方程和二次型计算；不可对角化时则需 Jordan 或有理标准形保留广义特征方向。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed., Springer, 2024，Ch. 5, diagonalizable operators and minimal polynomials。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 4, diagonalization and eigenvector bases。