对角化

对角化沿特征方向选择坐标轴。在这套坐标下，每个坐标独立地乘以 ${\lambda }_i$，反复作用就变成标量乘幂：

右边三步依次是把输入转为特征坐标、逐坐标缩放、转回原坐标。

构造这样的基有两道要求：特征值落在底域中，并且全部特征空间合起来有足够的独立方向。特征多项式不分裂会使第一步失败；某个特征空间的维数小于对应代数重数，则使第二步失败。极小多项式的“分裂且无重根”判据同时刻画这两点。

在实数域上，$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ 的特征值为 $3,1$，对应特征向量 $(1,1{)}^{\mathrm{\top }},(1,-1{)}^{\mathrm{\top }}$。取 $P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$，即得 $P^{-1}AP=\mathrm{diag}(3,1)$。单位矩阵 $I_n$（$n\ge 2$）则展示了重根情形：唯一特征值 $1$ 的代数重数为 $n$，特征空间也是 $n$ 维，所以每一组基都是特征向量基。

剪切矩阵 $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ 的特征值 $1$ 有代数重数 $2$，特征空间却只有一维，即 $x$ 轴方向。其极小多项式为 $(t-1{)}^2$，因此不可对角化。这时多项式已经分裂，缺少的是第二个独立特征方向。

实平面旋转 $\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ 展示另一种障碍：特征多项式 $t^2+1$ 在 $\mathbb{R}$ 上无根，所以无法选取实特征向量基。扩张到 $\mathbb{C}$ 后，两个特征值 $\pm i$ 互异，就可以对角化。

特征基有多种选择。每个特征向量都可作非零缩放，也可在同一特征空间内另选一组基；调整列顺序时，对角元随之按同一顺序排列。实对称矩阵和复正规矩阵还能选取正交规范特征基，这是谱定理理路有限维谱定理Finite-dimensional spectral theorem有限维复正规算子存在正交规范特征基；实数情形对应自伴算子。给出的更强结构。

若 $A=PD{P}^{-1}$，则对多项式 $p$ 有 $p(A)=Pp(D)P^{-1}$，其中 $p(D)$ 只需逐个计算 $p({\lambda }_i)$。矩阵幂由此给出线性递推理路线性递推Linear recurrence relation当前项由固定数量先前项的线性组合给出。的通项公式，例如 Fibonacci 数的 Binet 公式；实或复矩阵的指数则化为 $e^{tA}=P\mathrm{diag}(e^{t{\lambda }_i})P^{-1}$，用于求解常系数线性微分方程组。

当特征多项式已在底域上分裂时，广义特征空间给出Jordan 标准形理路Jordan 标准形Jordan canonical form · Jordan normal form在特征多项式分裂时，把有限维算子表示成 Jordan 块直和。，用块内的幂零部分记录特征向量不足的程度。全部块都是 $1\times 1$ 时，就得到对角化。实际判定可通过比较特征值与特征向量理路特征值与特征向量Eigenvalue and eigenvector满足 Tv=λv 且 v 非零的标量 λ 与向量 v。的重数，或分解极小多项式完成。

即使矩阵可对角化，近缺陷情形的特征向量矩阵也可能严重病态，使 $P$ 与 $P^{-1}$ 放大浮点误差；Schur 分解理路Schur 分解Schur decomposition · Schur triangularization · Real Schur form用酉或正交相似变换把一般矩阵化为上三角或实准上三角形，作为浮点全谱计算的稳定结构目标。用正交或酉变换为一般方阵提供更稳定的数值结构。