不变子空间

把 $T$ 想成逐步更新状态的规则。初始向量若在不变子空间 $U$ 中，后续的 $Tu,T^{2}u,\dots$ 便都留在 $U$ 中，可以直接研究较小的算子 $T{|}_U$。这里允许压缩：例如零算子把 $U$ 全部送到零，仍满足 $T(U)\subseteq U$。

块上三角矩阵说明两部分怎样联系：$U$ 中的输入只在 $U$ 中移动，补入方向的输入则可能通过 $B$ 向 $U$ 贡献分量。若补空间也不变，$B=0$，空间便分成不变子空间的直和理路直和Direct sum · Internal direct sum把对象组织为来自指定分量的唯一有限和；向量空间的内直和对应求和映射单射，外直和保留分量标签。，各块可以独立计算。一维不变子空间恰由特征向量张成；分解成这些直线的直和，就得到对角化。

先看一个能算尽的例子：剪切算子 $T(x,y)=(x+y,y)$，矩阵 $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$。直线 $U=\mathrm{span}\{e_1\}$ 不变，因为 $T{e}_1=e_1$。它还是唯一的一维不变子空间：直线 $\mathrm{span}\{(x,y)\}$ 不变要求 $(x+y,y)$ 与 $(x,y)$ 平行，即 $xy-y(x+y)=-y^2=0$，故 $y=0$。由此 $U$ 没有不变的补空间——任何补空间都是另一条直线，而其他直线都不是不变子空间。不变补的缺失正是这个矩阵不可对角化的几何原因。

不变子空间还依赖基域。平面九十度旋转的矩阵为 $\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$：一维不变子空间要求 $(-y,x)$ 与 $(x,y)$ 平行，即 $x^2+y^2=0$。在 $\mathbb{R}$ 上只有零解，所以它在 ${\mathbb{R}}^2$ 上只有平凡不变子空间。复化后，$\mathrm{span}\{(1,-i)\}$ 与 $\mathrm{span}\{(1,i)\}$ 分别成为特征值 $i,-i$ 的不变直线。

核与像提供系统的构造方法。对任意多项式 $p$，$T$ 与 $p(T)$ 交换，因此 $p(T)u=0$ 蕴含 $p(T)(Tu)=Tp(T)u=0$，说明 $\ker p(T)$ 不变。对像中的向量 $p(T)v$，有 $T(p(T)v)=p(T)(Tv)$，仍在 $\mathrm{im}p(T)$ 中，所以像也不变。取 $p(t)=t$ 得到 $\ker T$ 与 $\mathrm{im}T$，取 $p(t)=t-\lambda$ 得到特征空间。

从给定向量 $v$ 出发，循环子空间 $\mathrm{span}\{v,Tv,T^{2}v,\dots \}$ 是包含 $v$ 的最小不变子空间：$T$ 把每个生成向量送到下一个，而任何包含 $v$ 的不变子空间都必须包含这些迭代及其线性组合。不变子空间族的和与交也仍然不变。循环子空间与伴随矩阵理路循环子空间与伴随矩阵Cyclic subspace and companion matrix · Cyclic vector · Polynomial companion matrix把一个向量的精确幂递推表示为多项式商模和伴随矩阵，给出列向量约定下的换基证书。进一步把这条幂轨道写成多项式商模，并用 $AP=PC$ 核验其限制矩阵。

有限维标准形通过不变子空间分解算子。特征值与特征向量理路特征值与特征向量Eigenvalue and eigenvector满足 Tv=λv 且 v 非零的标量 λ 与向量 v。提供一维不变子空间；将极小多项式理路线性算子的极小多项式Minimal polynomial of an operator首一且次数最低、代入算子后为零的非零多项式。分解为互异首一不可约多项式的幂 $m=\prod _i{p}_i^{e_i}$，算子主分解理路线性算子的主分解与多项式投影Primary decomposition of a linear operator · Polynomial spectral projectors用互素多项式的 Bézout 证书构造规范投影，逐向量恢复主分量，并说明它与正交投影的区别。给出 $V=\underset{i}{⨁}\ker (p_i(T{)}^{e_i})$。在复数域上，$p_i(t)=t-{\lambda }_i$，各块就是广义特征空间理路广义特征空间Generalized eigenspace · Root space由某个 $(T-\lambda I)^k$ 消去的全部向量组成的最大特征根空间。，在块内选择幂零链便得到Jordan 标准形理路Jordan 标准形Jordan canonical form · Jordan normal form在特征多项式分裂时，把有限维算子表示成 Jordan 块直和。。

在群表示理路群表示Group representation把群同态地映入向量空间可逆线性变换群的结构。中，对所有 $\rho (g)$ 同时不变的子空间承载子表示，因而可以按这些子空间研究表示的分解。在有限维内积空间中，若 $T$ 自伴且 $U$ 不变，则 $U^{\perp }$ 也不变：对 $v\in U^{\perp },u\in U$，有 $⟨Tv,u⟩=⟨v,Tu⟩=0$。这给出了继续正交分块的途径。