形式陈述

对算子 $T:V\to V$，若 $T(U)\subseteq U$，则 $U$ 是 $T$-不变子空间，限制 $T{|}_U$ 合法。特征空间、$\ker p(T)$ 和 $\mathrm{im}p(T)$ 都是不变子空间。

直觉

寻找不变子空间就是寻找不会被算子混到外部的内部世界。

例子与边界

实平面旋转可能没有一维实不变子空间，复化后却出现特征线；不变补空间也不总存在。

推论与应用

是极小多项式、广义特征空间、Jordan 分解和表示论的组织核心。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed. (2024), invariant subspaces.
• Jim Hefferon, Linear Algebra (2020/2026 site), invariant subspaces and eigenspaces.