群表示

表示论把抽象对称性翻译成线性变换。群本身可能只由生成元与关系给出，而矩阵世界拥有特征值、迹、行列式、正交分解和谱理论。只要 $\rho (gh)=\rho (g)\rho (h)$，群中的乘法关系就会原样进入矩阵计算。

可以把表示想成群投在向量空间上的影子。忠实表示没有把不同群元素压成同一个变换；非忠实表示只看见商群 $G/\ker \rho$ 的作用。另一方面，即使影子完整，它仍可能沿若干不变子空间分成更小的影子。表示论的基本策略正是寻找这些不变部分，并把复杂表示拆成不可约构件。

可逆性不是多余条件。若 $\rho (g)$ 不可逆，就无法让 $g^{-1}$ 对应它的逆变换；若矩阵指派不保乘法，矩阵关系便不能反映群关系。因而“给每个群元素写一个矩阵”远未构成表示，必须验证同态条件。

一维表示与循环群 ​

每个群都有一维平凡表示 $\rho (g)=1$。只要向量空间非零，一维表示自动不可约；但对非平凡群，平凡表示并不忠实。这个例子已经说明不可约不蕴含忠实。

对循环群 $C_n=⟨a⟩$，复数域上的一维表示由 $a$ 的像决定。群关系 $a^n=e$ 要求

所以 $\rho (a)$ 必须是 $n$ 次单位根。由此得到 $n$ 个互不同构的一维复表示

置换表示与分解 ​

若 $G$ 作用于有限集合 $X$，在以 $\{e_x:x\in X\}$ 为基的向量空间上定义

便得到置换表示。向量 $\sum _{x\in X}{e}_x$ 被所有群元素固定，因此张成平凡子表示。

群本身还给出一个天然的正则表示。在以 $\{e_h:h\in G\}$ 为基的向量空间上，定义

不同群元素把基向量 $e_e$ 送到不同位置，因此正则表示总是忠实。它的维数是 $|G|$，通常远非不可约，却包含有限群全部不可约复表示的信息；字符正交关系和 Fourier 分解都可从这里展开。

最小的分解例子来自 $C_2=\{1,g\}$ 在 ${\mathbb{C}}^2$ 上交换两个基向量：

向量 $e_1+e_2$ 被固定，$e_1-e_2$ 被变号。因此

它分解为平凡表示与符号表示。该表示忠实却可约，正好与前面的平凡表示形成反向对照。

域特征造成的边界 ​

分解性质依赖基域。设 $p$ 为素数，在 ${\mathbb{F}}_p$ 上令 $C_p=⟨a⟩$ 作用为

因为

所以 $\rho (a{)}^p=I$，这确实定义了 $C_p$ 的二维表示。直线 $⟨e_1⟩$ 不变，表示因而可约；但不存在另一条不变直线作为补空间，它不能写成两个不可约子表示的直和。Maschke 定理公理库Maschke 定理Maschke's theorem当域特征不整除有限群阶时，每个有限维表示都完全可约。要求域特征不整除群阶，这个例子展示了该条件失效后的具体结构。

当 $G$ 有限且 $\mathrm{char}F\nmid |G|$ 时，Maschke 定理保证每个有限维表示完全可约。研究任务随之分成两步：分类不可约表示，并计算它们在给定表示中出现的重数。若特征整除群阶，这种分解可能失败，扩张与不可分解表示便成为新的核心对象。

字符理论把表示压缩为函数

在复数有限群表示中，字符足以识别半单表示，并通过正交关系计算不可约重数。有限阿贝尔群的不可约复表示全是一维特征标，对群上函数按特征标展开正是有限 Fourier 分析。

表示论因此连接群论、调和分析、几何与物理。几何对称作用在函数空间、同调群或切空间上后都会产生表示；量子系统的对称性也由酉表示编码。它的价值不在于把每个群都机械写成矩阵，而在于选择能保留目标结构的表示，再用不变子空间和不可约分解提取可计算信息。