形式陈述

设 $G$$G$ 为群、$V$$V$ 为域 $F$$F$ 上向量空间。$G$$G$ 在 $V$$V$ 上的线性表示是群同态

$$ \rho:G\longrightarrow \operatorname{GL}(V). $$$$\rho :G⟶\mathrm{GL}(V).$$

等价地，$G$$G$ 线性作用于 $V$$V$，满足 $g(hv)=(gh)v$$g(hv)=(gh)v$。有限维时选定基可把 $\rho(g)$$\rho (g)$ 写成可逆矩阵。子空间 $W\le V$$W\le V$ 若对所有 $g$$g$ 满足 $\rho(g)W\subseteq W$$\rho (g)W\subseteq W$，称为不变子空间；除 $0,V$$0,V$ 外无不变子空间的非零表示称不可约。表示同态（交织算子）$T:V\to W$$T:V\to W$ 满足 $T\rho_V(g)=\rho_W(g)T$$T{\rho }_V(g)={\rho }_W(g)T$。核为 $1$$1$ 的表示称忠实。

直觉

表示把抽象对称变成线性变换，使群乘法可以用矩阵、特征值和向量空间分解来研究。

例子与边界

任意群有一维平凡表示 $\rho(g)=1$$\rho (g)=1$。群作用于有限集合 $X$$X$ 时，让 $G$$G$ 置换基向量 $e_x$$e_x$，得到置换表示；其中所有坐标相等的向量张成平凡不变子空间。$C_n$$C_n$ 在含有 $n$$n$ 次单位根的域上有一维表示 $g\mapsto\zeta^k$$g\mapsto {\zeta }^k$。表示必须取值于可逆线性变换，因为 $g^{-1}$$g^{-1}$ 必须映成 $\rho(g)^{-1}$$\rho (g{)}^{-1}$；任意把群元素映到线性算子的函数不是表示。不可约与忠实无蕴含关系：非忠实表示也可不可约，忠实表示也可分解。域和特征会改变不可约分解。

推论与应用

群表示连接群论、线性代数、调和分析和量子对称性。字符、Maschke 定理与表示分解可把群结构转化为可计算的线性不变量。

参考资料

• Jean-Pierre Serre, Linear Representations of Finite Groups, Springer, 1977，Ch. 1, linear representations, invariant subspaces, and morphisms。
• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，Ch. 18, representations and group actions on vector spaces。