Maschke 定理

问题出在"补空间"上：不变子空间 $W$ 总有线性补，但任取的补一般会被群作用扭到别处，不再是同一个子空间。Maschke 的想法是用群作用公理库群作用Group action群元素以保持单位元与乘法的方式作用于集合。本身来修正：任取一个到 $W$ 的线性投影 $P:V\to W$，把它沿群平均，

求和把所有"从某个群元素视角看到的 $P$"叠加起来，所得算子与每个 $\rho (g)$ 交换，仍是到 $W$ 的投影，于是 $\ker \bar{P}$ 就是所求的不变补。这是数学中反复出现的"对称化"技巧：对整个对称群平均，就得到对称的对象。整除条件在这里现出原形——平均需要除以 $|G|$，特征整除群阶时这一步无法进行，定理也随之失效。有限性同样用在刀刃上：求和只对有限群有意义。

取 $G=S_3$ 以置换坐标的方式作用在 ${\mathbb{C}}^3$ 上。直线 $W=\mathrm{span}\{(1,1,1)\}$ 显然不变；Maschke 定理保证有不变补，实际上 $U=\{x:x_1+x_2+x_3=0\}$ 就是，且 $U$ 是二维不可约的标准表示，于是 ${\mathbb{C}}^3\cong$ 平凡表示 $\oplus$ 标准表示。特征 $0$ 的域（如 $\mathbb{C}$）永远满足假设，故复表示论可以完全建立在"分解为不可约块"之上。

特征整除群阶时定理确实失败。设 $G=C_p=⟨g⟩$，域为 ${\mathbb{F}}_p$，令 $\rho (g)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$；由 $\rho (g{)}^p=\left(\begin{array}{cc}1& p\\ 0& 1\end{array}\right)=I$ 知这是合法表示。直线 $\mathrm{span}\{e_1\}$ 不变，但它是唯一的不变直线（$\rho (g)$ 的特征向量只有 $e_1$ 的倍数），因此没有不变补。要注意失败的准确含义：此时群代数不半单，存在不能分解的表示，但并非每个表示都坏——平凡表示照样不可约。

有限性假设也不能省去。无限群 $\mathbb{Z}$ 在 ${\mathbb{C}}^2$ 上由 $1\mapsto \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ 给出的表示同样只有一条不变直线，没有不变补；对紧群需要用 Haar 积分代替有限平均才能挽回结论。另外，域不必代数闭：完全可约性在 $\mathrm{char}F\nmid |G|$ 下对任意域成立，但不可约成分会随域改变，例如 $C_3$ 的二维旋转表示在 $\mathbb{R}$ 上不可约，扩到 $\mathbb{C}$ 后分裂为两个一维特征。

Maschke 定理把有限群的表示论化归为不可约表示的枚举与组合：既然一切表示都是不可约块的直和，只需掌握有限多个不可约表示即可。这是特征标理论的出发点，也与 Artin–Wedderburn 结构定理衔接——一般域上，半单的 $F[G]$ 分解为有限个除环上的矩阵代数的直积；当 $F$ 是代数闭域时，这些除环就是 $F$，才可直接写成 $F$ 上矩阵代数的直积。该分解编码了不可约表示的同构类与维数。在 $F=\mathbb{C}$ 时还可对内积公理库内积空间Inner product space带正定对称双线性形式或正定 Hermitian 半双线性形式的向量空间。作同样的群平均，使每个表示酉化，不变补即正交补，这一思路延伸为有限群上的 Fourier 分析。当 $\mathrm{char}F$ 整除 $|G|$ 时，完全可约性失效，研究不可分解表示的模表示论由此展开。