形式陈述

设 $G$$G$ 为有限群，$F$$F$ 为满足 $\operatorname{char}F\nmid |G|$$\mathrm{char}F\nmid |G|$ 的域，等价地 $|G|$$|G|$ 在 $F$$F$ 中可逆。Maschke 定理断言每个有限维 $F$$F$-表示完全可约：若 $W\le V$$W\le V$ 是 $G$$G$-不变子空间，则存在 $G$$G$-不变补空间 $U$$U$ 使 $V=W\oplus U$$V=W\oplus U$。证明先任取线性投影 $P:V\to W$$P:V\to W$，再平均

$$ \overline P=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}\rho(g)P\rho(g)^{-1}; $$$$\bar{P}=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}\rho (g)P\rho (g{)}^{-1};$$

它仍投影到 $W$$W$ 且与 $G$$G$ 作用交换，故核给出不变补。等价地，群代数 $F[G]$$F[G]$ 在该条件下为半单代数。

直觉

普通线性补空间可能被群作用扭歪；对所有群元素共轭平均后，投影变得完全对称，于是补空间也尊重群作用。

例子与边界

在特征 $0$$0$ 的 $\mathbb C$$\mathbb{C}$ 上，任意有限群表示可分解为不可约表示直和。若 $G=C_p$$G=C_p$ 且域为 $\mathbb F_p$${\mathbb{F}}_p$，二维矩阵 $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ 给出的表示含有不变直线却没有不变补，说明特征整除群阶时定理可失败。失败条件意味着群代数不半单，不表示每一个具体表示都必不可约分解失败；平凡表示仍可简单。有限群假设用于有限平均，无限群需要紧群积分、酉性或其他额外结构。域不必代数闭，完全可约性仍成立，但不可约成分形态会随域改变。

推论与应用

Maschke 定理把有限群表示化为不可约块，支撑字符理论、群代数结构和傅里叶型分解；正特征整除群阶时则进入模表示论。

参考资料

• Jean-Pierre Serre, Linear Representations of Finite Groups, Springer, 1977，Ch. 1, Maschke theorem and complete reducibility。
• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，Ch. 18, averaging argument for finite-group representations。