直和

普通和允许多种来源，直和要求各分量之间没有可相互抵消的非零重叠。子空间之和只保证每个向量能写成若干分量之和，直和额外保证这种分解唯一。唯一性等价于任何分量都不能被其他分量抵消；两子空间时，这正是交集只有零向量。这个条件把空间拆成彼此独立的坐标块，而不仅是若干互相重叠的覆盖。

在 ${\mathbb{R}}^2$ 中，$U=\mathrm{span}(e_1)$、$W=\mathrm{span}(e_2)$ 给出 ${\mathbb{R}}^2=U\oplus W$。若改取 $W^{\prime }=\mathrm{span}(e_1+e_2)$，仍有直和；但 $U$ 与 $\mathrm{span}(2e_1)$ 的和不是直和，因为交非零。三个以上子空间两两交为零并不足以保证整体直和；无限族的代数直和还只允许有限多个分量非零，这一点与无限直积不同。

直和把线性子空间公理库线性子空间Linear subspace · Vector subspace在原向量运算下封闭、因而自身构成向量空间的非空子集。的独立拼接转成坐标分解，并产生沿一个补空间投影到另一个子空间的线性算子。分裂正合列公理库分裂正合列Split exact sequence · Splitting lemma短正合列通过同态截面或回缩与子对象和商对象相容地分解。以与原箭头相容的直和刻画没有扭曲的扩张；广义特征空间公理库广义特征空间Generalized eigenspace · Root space由某个 $(T-\lambda I)^k$ 消去的全部向量组成的最大特征根空间。分解、有限生成阿贝尔群结构定理公理库有限生成阿贝尔群结构定理Structure theorem for finitely generated abelian groups每个有限生成阿贝尔群唯一分解为自由部分与有限循环素幂部分。及其PID 模版本公理库PID 上有限生成模结构定理Structure theorem for finitely generated modules over a PIDPID 上每个有限生成模唯一分解为有限秩自由部分与满足整除链的循环挠模。都用直和记录互不混淆的结构分量。