形式陈述

对子空间 $U_1,\dots ,U_k\le V$，若每个 $v\in U_1+\cdots +U_k$ 都能唯一写成 $v=u_1+\cdots +u_k$，则记 $U_1\oplus \cdots \oplus U_k$。两子空间时等价于 $U\cap W=\{0\}$。

直觉

普通和允许多种来源，直和要求各分量之间没有可相互抵消的非零重叠。

例子与边界

${\mathbb{R}}^2=\mathrm{span}(e_1)\oplus \mathrm{span}(e_2)$。三个以上子空间两两交为零并不足以保证整体直和。

推论与应用

用于投影、特征空间分解、群结构定理和分次同调。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed. (2024), direct sums.
• Jim Hefferon, Linear Algebra (2020/2026 site), direct sum decompositions.