定义Definition

直和

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Direct sum · Internal direct sum

把对象组织为来自指定分量的唯一有限和；向量空间的内直和对应求和映射单射，外直和保留分量标签。

形式陈述

内直和：同一空间中的唯一分解

设 $V$ 是域 $\mathbb F$ 上的向量空间， $U_1,\ldots,U_m$ 是它的子空间。它们的和为

U_1+\cdots+U_m =\{u_1+\cdots+u_m:u_i\in U_i\}.

若其中每个向量只有一种这样的分解，就记为

U_1\oplus\cdots\oplus U_m.

写 $V=U_1\oplus\cdots\oplus U_m$ 同时断言：这些分量能够覆盖整个 $V$ ，并且分解唯一。[1]

唯一性有一个特别好用的等价条件：

u_1+\cdots+u_m=0,\quad u_i\in U_i \quad\Longrightarrow\quad u_1=\cdots=u_m=0.

为什么只检查零就够？若同一向量有两种分解，逐项相减就得到一种零的分解；条件迫使各项差都为零。反过来，如果零有非平凡分解，把它加到任意一组分量上，就会得到另一种分解。

两个子空间时，这进一步化成

U+W\text{ 是直和}\quad\Longleftrightarrow\quad U\cap W=\{0\}.

如果交集中有非零向量 $z$ ，则 $0=z+(-z)$ 已经破坏唯一性；若交集只有零，由 $u+w=u'+w'$ 得 $u-u'=w'-w\in U\cap W$ ，唯一性随即成立。

外直和：先把分量放进带位置的槽位

若 $V_1,\ldots,V_m$ 起初不是同一空间的子空间，仍可构造外直和：其元素是元组 $(v_1,\ldots,v_m)$ ，加法和数乘逐分量进行。有限个空间的外直和与直积使用相同的元组集合。

外直和中的 $(u,w)$ 保留了“哪一部分来自哪个空间”的标签；把已经嵌入同一空间的分量相加，则得到 $u+w$ 。连接两种观点的是求和映射

\Sigma:U_1\times\cdots\times U_m\longrightarrow U_1+\cdots+U_m, \qquad (u_1,\ldots,u_m)\mapsto\sum_i u_i.

它总是满射；内直和条件恰好说它还是单射，所以成为线性同构。若条件不成立，外部的不同元组会在求和后合并为同一个向量。例如 $U_1=U_2=U\ne\{0\}$ 时，取非零 $u\in U$ ， $(u,0)$ 与 $(0,u)$ 在外直和中是不同元组，却都被 $\Sigma$ 送到 $u$ 。[1]

直觉

不只是能够拼成，还要只能这样拼成

平面向量 $(a,b)$ 可以唯一分成水平分量 $(a,0)$ 与竖直分量 $(0,b)$ 。直和抽象的就是这种分量来自指定空间，而且分解唯一的结构。普通的子空间之和只要求“能写成”；直和进一步要求“没有第二种写法”。

若每个分量空间各选一组基，直和中的唯一分解就让这些基合在一起成为整个和空间的基。每个向量先按分量拆开，再在分量内作线性组合，两层系数都唯一确定。

例子与边界

斜方向的直和与三个子空间的依赖

在 $\mathbb R^2$ 中，取

U=\operatorname{span}(1,0),\qquad W=\operatorname{span}(1,1).

两条直线并不垂直，却有

(a,b)=(a-b,0)+(b,b),

且分解唯一，所以 $\mathbb R^2=U\oplus W$ 。直和来自线性独立的分量安排，正交直和则是在有内积时额外要求各分量互相正交。

三个及以上子空间时，两两交集为零不再充分。例如

U_1=\operatorname{span}(1,0),\quad U_2=\operatorname{span}(0,1),\quad U_3=\operatorname{span}(1,1)

的两两交集都只有零，但

(1,0)+(0,1)+(-1,-1)=0

给出非平凡的零分解。第三条直线可以由前两条合成，尽管它不与任何一条单独重合。一般情形需要检查 $U_i\cap\sum_{j\ne i}U_j=\{0\}$ 对每个 $i$ 成立，或直接使用零分解判据。[1]

有限维时，也可以用维数核对：

\dim(U_1+\cdots+U_m)=\sum_{i=1}^m\dim U_i

当且仅当这个和是直和。左边严格更小时，多算的维数就是分解自由度之间存在依赖的信号。

无限情形为什么限制有限支撑

对任意指标集 $I$ ，代数外直和定义为

\bigoplus_{i\in I}V_i =\{(v_i)_{i\in I}:v_i\in V_i,\text{ 仅有限多个 }v_i\ne0\}.

“有限支撑”使加法与线性映射只涉及有限次代数运算，不需要引入收敛概念。相应直积 $\prod_iV_i$ 则允许无限多个非零分量。

例如 $\bigoplus_{n\ge0}\mathbb R$ 是最终为零的实数序列，可自然看作实系数多项式的系数序列； $\prod_{n\ge0}\mathbb R$ 包含 $(1,1,1,\ldots)$ ，对应的形式幂级数不必是多项式。

Hilbert 空间的 Hilbert 直和由满足 $\sum_i\|v_i\|^2<\infty$ 的分量族组成，也就是代数直和在相应范数下的完备化。例如每个分量为 $\mathbb R$ 时，得到 $\ell^2$ ：它包含无限支撑的 $(1,1/2,1/3,\ldots)$ ，但不包含直积中的 $(1,1,1,\ldots)$ 。

模的直和使用同一有限支撑构造

若 $M_i$ 是同一含幺环 $R$ 上的左模，定义

\bigoplus_{i\in I}M_i =\{(m_i):m_i\in M_i,\text{ 仅有限多个 }m_i\ne0\}, \qquad r(m_i)=(rm_i).

加法也逐分量进行。有限支撑在这两种运算下保持，因此结果仍是左 $R$ -模，不要求 $R$ 交换。若 $M_i$ 已是同一个模的子模，求和映射是模同态；它为同构，当且仅当每个元素能唯一写成来自这些子模的有限和。两个分量时仍等价于 $M=N+P$ 且 $N\cap P=0$ ，投影 $n+p\mapsto n$ 也保持 $R$ -标量作用。

定义和零分解证明都不需要基，但补模的存在与向量空间不同。整数模 $2\mathbb Z\subseteq\mathbb Z$ 没有补模：任一非零子模 $m\mathbb Z$ 都与它含有共同的非零元素 $2m$ ，零子模又不能补足整个 $\mathbb Z$ 。因此“每个子空间都有补空间”不能无条件搬到模上。

推论与应用

分解如何产生投影与分块计算

若 $V=U\oplus W$ ，可以定义投影 $P(u+w)=u$ 。由于分解唯一， $P$ 是良定义的线性映射，满足

P^2=P,\qquad\operatorname{im}P=U,\qquad\ker P=W.

前面的斜直和给出 $P(a,b)=(a-b,0)$ ，矩阵为 $\begin{pmatrix}1&-1\\0&0\end{pmatrix}$ 。它沿直线 $W=\operatorname{span}(1,1)$ 投到横轴，满足 $P^2=P$ 。标准欧氏内积下的正交投影则沿纵轴投到横轴，公式为 $(a,b)\mapsto(a,0)$ ；两者的投影方向不同。

如果一个线性算子分别保持每个直和分量，按分量选基后就得到分块对角矩阵，可以逐块研究其行为。Jordan 标准形按不变分量组织算子；分裂正合列则通过一个截面选出核的补空间，得到定义域的直和分解。

参考资料

[1] Sheldon Axler，Linear Algebra Done Right，4th ed.，§1C、§3D：子空间和、零分解判据，以及积空间与内直和的求和映射。

[2] Serge Lang，Algebra，3rd ed.：模的直积、直和与有限支撑构造；无限代数直和的进一步阅读。

[3] Allen Altman、Steven Kleiman，A Term of Commutative Algebra，2012-09-03 版，§4 “Modules”：逐分量模运算与有限支撑直和。

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被这些条目使用

PID 上有限生成模结构定理

“这里每个 $d i$ 唯一到相伴，$r$ 是自由秩。唯一的是同构类型中的参数，不是 $M$ 内部一组特定的直和子模。把各 $d i$ 分解成素元幂，并用环上的中国剩余定理拆开互素部分，便得到…”

Maschke 定理

“由此归纳可得：每个有限维表示都同构于有限个不可约表示的直和。用代数的语言，该条件下群代数 $F[G]$ 是半单代数；反之，若 $\operatorname{char}F$ 整除 $ G $，…”

Jordan 标准形

“定理断言：存在 $V$ 的一组基，使 $T$ 在其下的矩阵是若干 Jordan 块的块对角直和，且出现的块按（特征值，尺寸）计的多重集由 $T$ 唯一决定。在特征多项式分裂的条件下，两个方阵…”

A 型箭图的区间分解

“区间分解定理断言存在如下直和 $$ V\cong\bigoplus {1\le a\le b\le n}I[a,b]^{\oplus m {a,b}}, \qquad m {a,b}\in\…”

线性算子的主分解与多项式投影

“是 $T$ 不变子空间的直和，并且 $T {V i}$ 的极小多项式恰为 $q i$。”

Ext 函子

“这里先取整数模的直和 $N\oplus\mathbb Z$，再取商模；分母是单个元素 $( c,m)$ 生成的循环子群。令”

中心幂等元与代数块

“作为左模仍有直和 $$ M 2(k)=M 2(k)e {11}\oplus M 2(k)e {22}. $$ 这只是两列组成的模分解，不是两个代数的乘积。事实上 $M 2(k)$ 的中心只有…”

诱导表示

“因此 $\dim\operatorname{Ind} H^G W=[G:H]\dim W$。这是向量空间的直和；其中每个坐标块通常不在整个 $G$ 的作用下保持不变。”

有限群表示的特征标

“若表示是直和 $V\oplus W$，选取分别来自两部分的基，作用矩阵呈块对角形：”

外代数

“设 $V$ 是域 $F$ 上的向量空间，由张量积组成的张量代数，是全部张量幂的代数直和： $$ T(V)=\bigoplus {k\ge0}V^{\otimes k},\qquad V^{\…”

路径代数

“从箭图表示 $V$ 出发，取总空间 $M=\bigoplus iV i$。让 $e i$ 为投影，箭头按给定线性映射作用，长路径按箭头复合作用。路径乘法与算子复合一致，因此得到 $kQ$ 模。”

加性范畴

“任意环 $R$ 的左模范畴 $R\text{ }\mathbf{Mod}$ 是加性的。零模是零对象，模直和 $M\oplus N$ 的底层集合由二元组构成；有限情形下它既满足积的投影泛性质，…”

广义特征空间

“每个广义特征空间都是 $T$ 的不变子空间，在其中选取 Jordan 链便得到相应的 Jordan 块。特征多项式完全分裂时，各个 $G \lambda$ 给出整个空间的直和分解；把它们各自…”

分裂正合列

“分裂引理把截面、回缩与直和三种语言互相转换。若商对象 $C$ 投射，就可将恒等映射 $1 C$ 沿满射 $v$ 提升，得到截面；若子对象 $A$ 内射，就可将 $1 A$ 沿单射 $u$ 延…”

分次环与齐次理想

“把多项式按次数分开后，商环与分式还能保留这份信息吗？一个非负分次交换含幺环是环 $S$ 连同加法群的直和分解 $$ S=\bigoplus {d\ge0}S d,\qquad 1\in S…”

对角化

“也就是说，$V$ 是全部特征空间的直和。另两个常用的等价判据是：特征多项式在 $F$ 上分裂，且每个特征值的几何重数等于代数重数；线性算子的极小多项式在 $F$ 上分裂为互异一次因子的乘积。…”

导出范畴与移位态射

“对链映射 $f:A\to B$，映射锥以两个模的直和定义为 $$ \operatorname{Cone}(f)^n=B^n\oplus A^{n+1}, \qquad d {\operato…”

不可分解模

“一个模不能拆成两个部分时，怎样把这件事转成可解的算子方程？非零模 $M$ 称为不可分解，若每当 $$ M=N\oplus P $$ 为模的直和时，$N,P$ 至少有一个为零。”

不变子空间

“块上三角矩阵说明两部分怎样联系：$U$ 中的输入只在 $U$ 中移动，补入方向的输入则可能通过 $B$ 向 $U$ 贡献分量。若补空间也不变，$B=0$，空间便分成不变子空间的直和，各块可以…”

半单模

“为什么“由单模拼成直和”恰好意味着每个子模都能分离出来？一个左 $R$ 模 $M$ 称为半单模，若它是单模的直和。零模也半单，对应空直和。”

形式陈述 ​

内直和：同一空间中的唯一分解 ​

外直和：先把分量放进带位置的槽位 ​

不只是能够拼成，还要只能这样拼成 ​

斜方向的直和与三个子空间的依赖 ​

无限情形为什么限制有限支撑 ​

模的直和使用同一有限支撑构造 ​

分解如何产生投影与分块计算 ​

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