形式陈述

对特征值 $\lambda$，有限维时定义 $G_{\lambda }=\ker (T-\lambda I{)}^N$，其中 $N$ 足够大（可取 $\dim V$）。它包含普通特征空间，且维数等于 $\lambda$ 的代数重数；不同特征值的广义特征空间直和。

直觉

普通特征向量只看一步不动方向，广义特征向量允许经过有限次“去掉 $\lambda$ 部分”后归零。

例子与边界

单个 Jordan 块只有一条特征线，却有整个块作为广义特征空间。若底域上特征多项式不分裂，需扩域或使用不可约主分解。

推论与应用

把不可对角化部分组织成 nilpotent 链，是 Jordan 标准形的直接前置。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed. (2024), generalized eigenvectors.
• Jim Hefferon, Linear Algebra (2020/2026 site), Jordan chains and generalized eigenvectors.