广义特征空间

普通特征向量只看一步不动方向，广义特征向量允许经过有限次“去掉 $\lambda$ 部分”后归零。当 $T-\lambda I$ 不能一次把所有相关方向送到零时，可以反复作用，收集最终被某个幂杀掉的向量。广义特征空间因此不仅包含真正特征向量，还包含沿 Jordan 链逐级流向特征向量的方向。稳定后的核记录了特征值$\lambda$ 对算子全部的局部贡献。

单个 Jordan 块只有一条特征线，却有整个块作为广义特征空间。若底域上特征多项式不分裂，需扩域或使用不可约主分解。对 Jordan 块 $J=\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 0& \lambda \end{array}\right)$，$e_1$ 是特征向量，$e_2$ 不是，但 $(J-\lambda I)e_2=e_1$、$(J-\lambda I{)}^2{e}_2=0$，故两者都在广义特征空间。若多项式未在底域分裂，空间不一定能分解为这些子空间；扩域后才可能出现完整分解。

把不可对角化部分组织成 nilpotent 链，是 Jordan 标准形的直接前置。广义特征空间是 不变子空间公理库不变子空间Invariant subspace在线性算子作用下保持封闭、可被单独限制研究的子空间。，其维数等于特征值的代数重数。若特征多项式在底域上完全分裂，各特征值对应空间的 直和公理库直和Direct sum · Internal direct sum用有限支撑元组构造外部直和，并以唯一分解刻画子空间的内部直和。 才给出整个空间的主分解，并直接形成 Jordan 标准形公理库Jordan 标准形Jordan canonical form · Jordan normal form在特征多项式分裂时，把有限维算子表示成 Jordan 块直和。；算子极小多项式公理库线性算子的极小多项式Minimal polynomial of an operator首一且次数最低、代入算子后为零的非零多项式。中 $(x-\lambda )$ 的最高幂则控制最大 Jordan 块。广义特征向量链属于精确相似分类，不应被当作浮点算法的稳定输出；实际谱计算通常保留Schur 分解公理库Schur 分解Schur decomposition · Schur triangularization · Real Schur form用酉或正交相似变换把一般矩阵化为上三角或实准上三角形，作为浮点全谱计算的稳定结构目标。给出的酉不变子空间。