形式陈述

有限维算子 $T$ 存在唯一首一多项式 $m_T$，满足 $m_T(T)=0$ 且次数最低。任何满足 $p(T)=0$ 的多项式都被 $m_T$ 整除；$m_T$ 整除特征多项式。$T$ 可对角化当且仅当 $m_T$ 分裂且无重根。

直觉

特征多项式记录候选谱，极小多项式保留真正控制算子行为的最短代数关系。

例子与边界

恒等算子的极小多项式是 $x-1$，而特征多项式是 $(x-1{)}^n$。结论依赖底域是否使多项式分裂。

推论与应用

控制 Jordan 块最大尺寸、矩阵函数简化和 Krylov 方法。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed. (2024), minimal polynomial.
• Jim Hefferon, Linear Algebra (2020/2026 site), annihilating polynomials and eigenstructure.