线性算子的极小多项式

特征多项式记录候选谱，极小多项式保留真正控制算子行为的最短代数关系。算子极小多项式是使 $m(T)=0$ 的最低次首一多项式，因而是算子所有幂之间最短的线性递推。特征多项式给出一个普遍可用的消去关系，极小多项式则删去多余重数，只保留真正控制各不变部分的最高幂。它是相似不变量，却不能单独决定相似类。

恒等算子的极小多项式是 $x-1$，而特征多项式是 $(x-1{)}^n$。结论依赖底域是否使多项式分裂。取

作为实向量空间上的旋转算子。它满足 $A^2+I=0$，且没有一次实多项式能消去它，所以极小多项式为 $x^2+1$。扩到复数后该多项式分裂为 $(x-i)(x+i)$，但极小多项式作为从实算子得到的关系仍依底域而定。极小多项式相同也不保证算子相似；它只记录各不可约因子的最大指数，不记录每种块出现多少次。

极小多项式控制 Jordan 块最大尺寸、矩阵函数简化和有限幂递推。Cayley–Hamilton 定理公理库Cayley–Hamilton 定理Cayley–Hamilton theorem每个有限维线性算子都满足自己的特征多项式。保证它整除特征多项式；多项式分裂且无重根时，算子可对角化公理库对角化Diagonalization在线性算子存在由特征向量构成的基时把其矩阵化为对角形。，而在 Jordan 标准形公理库Jordan 标准形Jordan canonical form · Jordan normal form在特征多项式分裂时，把有限维算子表示成 Jordan 块直和。 中，各因子的最高指数给出最大块尺寸。对起始向量 $v$，使 $p(T)v=0$ 的最低次多项式还可比 $m_T$ 更低，它的次数控制Krylov 子空间公理库Krylov 子空间Krylov subspace · Arnoldi iteration · Lanczos iteration从初始向量反复施加矩阵，生成只依赖矩阵—向量乘法的递增子空间及其 Arnoldi、Lanczos 正交基。何时停止增维；这是一条相对于 $v$ 的精确算术结论。