Cayley–Hamilton 定理

特征多项式最常被介绍为寻找特征值的方程，但 Cayley–Hamilton 说明它还直接约束整个算子。次数达到 $n$ 后，$T^n$ 可以写成 $I,T,\dots ,T^{n-1}$ 的线性组合；再乘一个 $T$ 并反复降阶，所有更高次幂也都落在同一个有限维张成空间中。于是一个关于标量变量的行列式，变成了算子幂的统一递推关系。

“有限维必有某个多项式消去 $T$”本可由 $I,T,T^2,\dots$ 在 $\mathrm{End}(V)$ 中线性相关得到，但那只给出一个次数至多 $n^2$ 的未知关系。Cayley–Hamilton 精确指出次数为 $n$、可从矩阵计算且换基不变的 ${\chi }_T$ 一定有效。极小多项式再从所有有效关系中选出首一且次数最低的一条。

一个稳健的证明从多项式矩阵恒等式开始。令

在 $M_n(F[t])$ 中有

比较 $t$ 的各次系数，若 ${\chi }_A(t)=t^n+c_{n-1}{t}^{n-1}+\cdots +c_0$，便得到

把第 $k$ 个等式左乘 $A^k$，再把所有等式相加，中间项逐项抵消：

这就得到 ${\chi }_A(A)=0$。

这个系数比较并非多余的形式工作。由 $(tI-A)\mathrm{adj}(tI-A)={\chi }_A(t)I$ 直接写“令 $t=A$”并不自动合法，因为把中央变量 $t$ 替换为矩阵 $A$，一般不是矩阵系数多项式环上的乘法同态；系数未必与代入值交换。可以另行证明此处相关系数可交换，但上面的望远镜消去避免了隐藏这项责任。

对

有 ${\chi }_A(t)=(t-1{)}^2=t^2-2t+1$，所以

写成 $A=I+N$ 后有 $N^2=0$，故 $A^k=I+kN$；这与二阶递推完全一致。这个例子也表明定理不要求矩阵可对角化：非平凡 Jordan 块同样满足自己的特征多项式。

若 $A$ 可逆，则 $c_0=(-1{)}^n\det A\ne 0$。从 Cayley–Hamilton 等式中分离常数项并乘以 $A^{-1}$，可得

这是一条精确恒等式，但数值计算中通常不应据此显式形成高次幂求逆，因为舍入误差和运算成本可能远差于分解法。

本条的陈述依赖有限维特征多项式。一般无限维算子没有可供代入的有限次数 ${\chi }_T$，即使某些特殊算子仍满足多项式关系，也不能由 Cayley–Hamilton 自动推出。矩阵在交换环上还有更一般版本；若底环不交换，行列式与代入都需另作定义，不能原样套用上述证明。

因为 ${\chi }_T$ 是一个消去 $T$ 的首一多项式，按多项式除法，$m_T$ 必须整除 ${\chi }_T$。具体的整除关系、特征值因子和 Jordan 标准形公理库Jordan 标准形Jordan canonical form · Jordan normal form在特征多项式分裂时，把有限维算子表示成 Jordan 块直和。块大小由极小多项式条目进一步组织；Cayley–Hamilton 在这里提供的是“特征多项式必为消去多项式”这一入口，而不是独自决定所有块结构。

对任意多项式 $p$，除以 ${\chi }_T$ 后的余式次数小于 $n$，且 $p(T)$ 等于该余式在 $T$ 处的值。因此矩阵幂、线性递推和多项式矩阵函数都能有限降阶。若已知更低次的 $m_T$，用极小多项式取余会得到更短表示；Cayley–Hamilton 给出的是始终可用的上界。

从向量 $v$ 出发的 Krylov 子空间公理库Krylov 子空间Krylov subspace · Arnoldi iteration · Lanczos iteration从初始向量反复施加矩阵，生成只依赖矩阵—向量乘法的递增子空间及其 Arnoldi、Lanczos 正交基。由 $v,Tv,T^{2}v,\dots$ 张成。Cayley–Hamilton 保证它至迟在有限维内停止增长，而相对于 $v$ 的最短消去关系决定实际停止位置。这个事实解释 Krylov 方法的精确算术结构，但不等于建议在数值算法中显式形成所有高次矩阵幂。