形式陈述

若 ${\chi }_T(x)=\det (xI-T)$，则 ${\chi }_T(T)=0$。因此极小多项式整除特征多项式。对 $2\times 2$ 矩阵，$A^2-(\mathrm{tr}A)A+(\det A)I=0$。

直觉

特征多项式不仅列出特征值，还给算子本身一条有限阶代数递推。

例子与边界

不能把 $x=A$ 机械代入带矩阵系数的伴随公式而忽略交换问题；无限维算子一般没有有限次数特征多项式。

推论与应用

把高次矩阵幂降阶，并用于求逆、递推、矩阵指数和极小多项式计算。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed. (2024), Cayley–Hamilton.
• Jim Hefferon, Linear Algebra (2020/2026 site), Cayley–Hamilton theorem.