形式陈述

有限维内积空间中，对 $T:V\to W$ 存在唯一 $T^{\ast }:W\to V$，满足 $⟨Tv,w⟩=⟨v,T^{\ast }w⟩$。矩阵上，实情形为转置，复情形为共轭转置；$(ST{)}^{\ast }=T^{\ast }{S}^{\ast }$。

直觉

伴随把“作用在输入上的算子”改写为“作用在测试方向上的算子”，是内积下的对偶化。

例子与边界

伴随依赖内积，不只是代数对偶。无限维时有界算子仍有伴随，非有界算子需额外定义域条件。

推论与应用

定义自伴、正规、酉算子，并连接谱定理、最小二乘和 SVD。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed. (2024), adjoints.
• Jim Hefferon, Linear Algebra (2020/2026 site), transpose/adjoint and inner products.