伴随算子

把内积 $⟨Tv,w⟩$ 读成一次“测量”：先用 $T$ 变换输入 $v$，再看结果在测试方向 $w$ 上的分量。伴随把同一测量改写为 $⟨v,T^{\ast }w⟩$，也就是不动输入，转而预先变换测试方向。它因此像一条无坐标的反向传播规则，并自然出现在正规方程、Fourier 系数和量子力学的期望值中。

伴随可由对偶空间公理库对偶空间Dual space给定向量空间到标量域的全部线性泛函组成的向量空间。上的转置理解，但两者不是同一个对象。转置 $T^{\mathsf{t}}:W^{\ast }\to V^{\ast }$ 不需要内积；只有借助内积给出的 $V\cong V^{\ast }$ 与 $W\cong W^{\ast }$，才能把它搬回 $T^{\ast }:W\to V$。换一个内积，同一个线性映射的伴随也会改变。

在带标准内积的 ${\mathbb{R}}^2$ 上取 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$，则 $A^{\ast }=A^{\mathrm{\top }}=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right)$。例如 $⟨A{e}_1,e_2⟩=3$，而 $A^{\mathrm{\top }}{e}_2=(3,4{)}^{\mathrm{\top }}$，故 $⟨e_1,A^{\mathrm{\top }}{e}_2⟩$ 也等于 $3$。在 $\mathbb{C}$ 上必须先固定槽位约定：本页令内积对第一槽共轭线性、第二槽线性，因此乘 $\lambda$ 的算子以乘 $\bar{\lambda }$ 为伴随；采用相反约定时定义式需相应交换。

“伴随矩阵就是共轭转置”只在正交规范基下成立。若 $V=W$ 且内积写成 $⟨x,y{⟩}_G=x^{\ast }Gy$，其中 $G$ 正定，则矩阵伴随为 $G^{-1}{A}^{\ast }G$；直接取共轭转置会遗漏基底的 Gram 矩阵。这个边界也再次说明，伴随依赖内积，而普通对偶转置不依赖。

伴随是一整族重要算子类的定义起点：$T=T^{\ast }$ 给出自伴算子，$T{T}^{\ast }=T^{\ast }T$ 给出正规算子，$T^{\ast }=T^{-1}$ 给出酉（正交）算子；有限维谱定理公理库有限维谱定理Finite-dimensional spectral theorem有限维实对称或复自伴算子存在正交规范特征向量基。正是对这些类给出正交规范对角化。有限维中 $\mathrm{im}T=(\ker T^{\ast }{)}^{\perp }$，因此正交条件能直接判定方程 $Tv=w$ 是否可解。

最小二乘的正规方程公理库最小二乘与正规方程Least squares · Normal equations将目标向量正交投影到矩阵列空间，并以残差正交条件导出正规方程。 $A^{\ast }A\hat{x}=A^{\ast }b$ 正是这一关系的有限维形式，但它首先是最优性条件；实际数值求解公理库用 QR 与 SVD 求最小二乘Least squares via QR · Least squares via SVD · Numerical least squares以 QR 作为满列秩最小二乘的默认计算路线，并用 SVD 处理秩亏、欠定和最小范数解。默认直接作用于 $A$，避免无条件形成 $A^{\ast }A$。

奇异值分解公理库奇异值分解Singular value decomposition · SVD任意有限维线性映射都可在正交规范基下表示为非负对角伸缩。围绕 $T^{\ast }T$ 的特征分解展开；它与有限维谱定理共同构成数值线性代数的骨架。无限维中的闭像、稠密定义域与无界算子边界属于 Hilbert 空间版本，不能仅凭矩阵共轭转置类推。