联络与协变导数

不同点的纤维是不同向量空间，向量不能天然相减。联络提供一条规则：沿某个方向观察一个截面时，怎样扣除局部标架自身的变化，得到坐标无关的导数。它相当于选择哪些沿曲线变化的向量应被视作“保持平行”。

局部系数记录这套比较规则在某个标架中的样子。换标架时，系数不仅做矩阵共轭，还出现标架导数项，所以 Christoffel 符号不是张量；协变导数和平行移动的最终结果才是几何对象。

在平凡丛 ${\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^r$ 上，标准联络逐分量求方向导数：

标准直角坐标中连接系数为零。即使 Euclidean 平面仍用同一平坦联络，换到极坐标后 Christoffel 符号通常非零；这说明“系数非零”不等于“空间有曲率”。

${\mathrm{\nabla }}_{X}s$ 对第一变量是函数线性的，却对第二变量不是：

若把它误写成对两变量都 $C^{\mathrm{\infty }}$-线性，就会丢掉真正的求导项。反过来，${\mathrm{\nabla }}_{X}s$ 在一点的值只依赖 $X$ 在该点的值，却依赖 $s$ 在该点附近的一阶变化。

联络不是由向量丛公理库光滑向量丛Vector bundle · Smooth vector bundle · 向量丛纤维为同维向量空间、并在流形上局部以光滑保线性方式平凡化的丛。自动唯一决定的；两个联络之差是一个 $\mathrm{End}(E)$ 值 $1$-形式。只有加入额外条件时才可能选出典范联络；Riemann 度量如何通过无挠与度量相容条件唯一选出联络，见Levi–Civita 定理公理库Levi–Civita 存在唯一性定理Levi-Civita connection · Fundamental theorem of Riemannian geometry每个 Riemann 度量唯一确定同时无挠且与度量相容的切丛联络。。

对切丛联络，满足

的曲线是测地线公理库测地线Geodesic局部保持平行速度并在短区间上实现长度驻值的曲线。。平行移动比较路径两端的向量；沿闭路返回后的无穷小失败由Riemann 曲率张量公理库Riemann 曲率张量Riemann curvature tensor · Curvature tensor以协变微分不交换刻画 Riemann 流形内蕴曲率的四阶张量。刻画。联络也可延拓到对偶丛、张量积与外幂，使微分形式公理库微分形式Differential form在每点切空间上光滑变化的交替多线性协变量场。和张量能够作协变微分。

Lie 括号公理库向量场与 Lie 括号Vector field · Lie bracket of vector fields光滑切向量场及其由导子交换子定义、衡量局部流不对易性的 Lie 括号。只依赖光滑结构，联络则是额外选择。Riemann 度量公理库Riemann 度量Riemannian metric在每一点切空间上光滑变化的正定内积。提供长度角度，Levi–Civita 定理再选出唯一相容联络；把这三层分开，才能区分坐标效应、联络效应与真正曲率。