联络与协变导数

形式陈述 ​

设 $\pi :E\to M$ 是光滑向量丛公理库光滑向量丛Vector bundle · Smooth vector bundle · 向量丛纤维为同维向量空间、并在流形上局部以光滑保线性方式平凡化的丛。，$\mathrm{\Gamma }(E)$ 为其光滑截面。联络或协变导数是映射

$$\mathrm{\nabla }:\mathfrak{X}(M)\times \mathrm{\Gamma }(E)⟶\mathrm{\Gamma }(E),(X,s)⟼{\mathrm{\nabla }}_{X}s,$$

满足对 $X$ 的 $C^{\mathrm{\infty }}(M)$-线性、对 $s$ 的实线性，以及 Leibniz 规则

$${\mathrm{\nabla }}_{fX+gY}s=f{\mathrm{\nabla }}_{X}s+g{\mathrm{\nabla }}_{Y}s,$$$${\mathrm{\nabla }}_X(fs)=X(f)s+f{\mathrm{\nabla }}_{X}s.$$

取局部标架 $e_1,\dots ,e_r$，可写

$${\mathrm{\nabla }}_X{e}_j=\sum _i{\omega }^i{}_j(X)e_i,$$

其中 ${\omega }^i{}_j$ 是局部连接 $1$-形式。切丛坐标标架下的系数通常记为 Christoffel 符号 ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k$。沿曲线 $\gamma$ 的协变导数 $Ds/dt$ 由局部延拓定义；若 $Ds/dt=0$，则称 $s$ 沿 $\gamma$ 平行，给定初值时产生唯一平行移动。

当 $E=TM$ 时，联络的挠率定义为

$$T(X,Y)={\mathrm{\nabla }}_{X}Y-{\mathrm{\nabla }}_{Y}X-[X,Y].$$

一般向量丛没有把两个底流形向量场相减后落回同一对象的自然 Lie 括号，因此不定义这种挠率。

直觉 ​

不同点的纤维是不同向量空间，向量不能天然相减。联络提供一条规则：沿某个方向观察一个截面时，怎样扣除局部标架自身的变化，得到坐标无关的导数。它相当于选择哪些沿曲线变化的向量应被视作“保持平行”。

局部系数记录这套比较规则在某个标架中的样子。换标架时，系数不仅做矩阵共轭，还出现标架导数项，所以 Christoffel 符号不是张量；协变导数和平行移动的最终结果才是几何对象。

例子与边界 ​

在平凡丛 ${\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^r$ 上，标准联络逐分量求方向导数：

$${\mathrm{\nabla }}_{X}s=X(s^1)e_1+\cdots +X(s^r)e_r.$$

标准直角坐标中连接系数为零。即使 Euclidean 平面仍用同一平坦联络，换到极坐标后 Christoffel 符号通常非零；这说明“系数非零”不等于“空间有曲率”。

${\mathrm{\nabla }}_{X}s$ 对第一变量是函数线性的，却对第二变量不是：

$${\mathrm{\nabla }}_X(fs)=X(f)s+f{\mathrm{\nabla }}_{X}s.$$

若把它误写成对两变量都 $C^{\mathrm{\infty }}$-线性，就会丢掉真正的求导项。反过来，${\mathrm{\nabla }}_{X}s$ 在一点的值只依赖 $X$ 在该点的值，却依赖 $s$ 在该点附近的一阶变化。

联络不是由向量丛公理库光滑向量丛Vector bundle · Smooth vector bundle · 向量丛纤维为同维向量空间、并在流形上局部以光滑保线性方式平凡化的丛。自动唯一决定的；两个联络之差是一个 $\mathrm{End}(E)$ 值 $1$-形式。只有加入额外条件时才可能选出典范联络；Riemann 度量如何通过无挠与度量相容条件唯一选出联络，见Levi–Civita 定理公理库Levi–Civita 存在唯一性定理Levi-Civita connection · Fundamental theorem of Riemannian geometry每个 Riemann 度量唯一确定同时无挠且与度量相容的切丛联络。。

推论与应用 ​

对切丛联络，满足

$${\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }}\dot{\gamma }=0$$

的曲线是测地线公理库测地线Geodesic局部保持平行速度并在短区间上实现长度驻值的曲线。。平行移动比较路径两端的向量；沿闭路返回后的无穷小失败由Riemann 曲率张量公理库Riemann 曲率张量Riemann curvature tensor · Curvature tensor以协变微分不交换刻画 Riemann 流形内蕴曲率的四阶张量。刻画。联络也可延拓到对偶丛、张量积与外幂，使微分形式公理库微分形式Differential form在每点切空间上光滑变化的交替多线性协变量场。和张量能够作协变微分。

Lie 括号公理库向量场与 Lie 括号Vector field · Lie bracket of vector fields光滑切向量场及其由导子交换子定义、衡量局部流不对易性的 Lie 括号。只依赖光滑结构，联络则是额外选择。Riemann 度量公理库Riemann 度量Riemannian metric在每一点切空间上光滑变化的正定内积。提供长度角度，Levi–Civita 定理再选出唯一相容联络；把这三层分开，才能区分坐标效应、联络效应与真正曲率。

参考资料

• John M. Lee, Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature, Springer, 1997, Chs. 4–5, connections and covariant derivatives.
• Manfredo P. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1992, Chs. 2–3, affine connections and parallel transport.
• Shoshichi Kobayashi and Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. I, Wiley, 1963, Ch. II.