联络与协变导数

不同点的纤维是不同向量空间，向量不能天然相减。联络提供一条规则：沿某个方向观察一个截面时，怎样扣除局部标架自身的变化，得到坐标无关的导数。它相当于选择哪些沿曲线变化的向量应被视作“保持平行”。

局部系数记录这套比较规则在某个标架中的样子。换标架时，系数不仅做矩阵共轭，还出现标架导数项，所以 Christoffel 符号不是张量；协变导数和平行移动的最终结果才是几何对象。

对于保持纤维内积的联络，在定向秩二丛的正向正交单位标架中，这条换架规律可具体写成 $a^{\prime }=a+d\varphi$，其中 $\mathrm{\nabla }{e}_1=a{e}_2$，$\varphi$ 为标架的旋转角。平面丛 Euler 类理路定向平面丛的 Euler 类Euler class · Euler class of an oriented plane bundle · 欧拉类在闭定向曲面上用边界绕数构造定向秩二实丛的整数 Euler 类，证明选择无关，并把它与度量联络的曲率积分及球面拼接整数直接对应。推导该式，并证明局部的 $-da/(2\pi )$ 拼成全局曲率代表；公共边上的联络积分相消，把总积分还原为整数绕数。

在平凡丛 ${\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^r$ 上，标准联络逐分量求方向导数：

标准直角坐标中连接系数为零。即使 Euclidean 平面仍用同一平坦联络，换到极坐标后 Christoffel 符号通常非零；这说明“系数非零”不等于“空间有曲率”。

${\mathrm{\nabla }}_{X}s$ 对第一变量是函数线性的，却对第二变量不是：

若把它误写成对两变量都 $C^{\mathrm{\infty }}$-线性，就会丢掉真正的求导项。反过来，${\mathrm{\nabla }}_{X}s$ 在一点的值只依赖 $X$ 在该点的值，却依赖 $s$ 在该点附近的一阶变化。

联络不是由向量丛理路光滑向量丛Vector bundle · Smooth vector bundle · 向量丛用相容的局部线性坐标定义并重建光滑向量丛，推导换标架与同构公式，再由 Möbius 线丛的反周期截面检测非平凡性。自动唯一决定的；两个联络之差是一个 $\mathrm{End}(E)$ 值 $1$-形式。只有加入额外条件时才可能选出典范联络；Riemann 度量如何通过无挠与度量相容条件唯一选出联络，见Levi–Civita 定理理路Levi–Civita 存在唯一性定理Levi-Civita connection · Fundamental theorem of Riemannian geometry每个 Riemann 度量唯一确定同时无挠且与度量相容的切丛联络。。

任意光滑向量丛都可以选择联络 ​

在局部标架 $e_{\alpha 1},\dots ,e_{\alpha r}$ 上定义逐分量求导的平坦联络

取从属于这些平凡化开集的光滑单位分解理路单位分解Partition of unity用局部有限、非负且和为一的光滑函数族从属于开覆盖并粘合局部构造。 $\{{\rho }_{\alpha }\}$，定义

每项在 $U_{\alpha }$ 外按零延拓。因为 $\mathrm{supp}{\rho }_{\alpha }\subset U_{\alpha }$，接缝外每一点附近此项恒为零，故延拓光滑；局部有限性使和在每点附近只含有限项。对 $X$ 的函数线性直接保留，而

因此式 (1) 是全局联络。局部平坦联络的加权平均一般不平坦，存在性没有推出曲率为零。

平行移动及其对路径参数的光滑依赖 ​

沿光滑曲线 $\gamma$，在局部标架中写 $s(t)=e(\gamma (t))u(t)$。平行条件为

实秩 $r\ge 1$ 时，这是实线性常微分方程组理路线性常微分方程组Linear system of ordinary differential equations形如 x′=A(t)x+b(t) 的向量值一阶线性方程组。。复秩 $r\ge 1$ 时，写 $u=x+iy$、$A=B+iC$，则 $u^{\prime }=-Au$ 等价于

这是维数 $2r$ 的实系统，适用同一理论。秩为零时只有零截面，无须解方程。

在任何紧时间段，把曲线分成有限个落入平凡化的子段，在各段解初值问题，再按过渡矩阵换坐标；唯一性使相邻解一致。线性系统在连续系数的整个子段存在，所以该过程不会因纤维坐标变大而提前终止。于是得到纤维线性映射

反向走同一曲线给出其逆，拼接曲线对应复合；因此它是线性同构。

后面还需要一个参数事实：若 $\gamma (t,x)$ 光滑依赖 $x$，则 $P_{\gamma (\cdot ,x)}$ 也光滑依赖 $x$。这里不必预先给整个路径族上的丛平凡化。固定 $x_0$，把紧时间段分为有限段，使每段曲线连同 $x_0$ 的一个小参数邻域都落在同一张图中。在单段上，记 $A(t,x)={\omega }_{\gamma (t,x)}({\partial }_t\gamma (t,x))$，则式 (2) 为 $u^{\prime }=-Au$，其基本矩阵可由逐次积分级数构造：

在紧参数邻域内，第 $k$ 项被 $C^k|t-t_0{|}^k/k!$ 控制。对参数作任意固定阶数 $m$ 的导数后，乘积法则至多增加常数倍 $k^m$，并可用包括 $A$ 的前 $m$ 阶导数的统一界替换 $C$；级数仍一致收敛。因此可逐项求参数导数，时间导数再由方程恢复，得到联合光滑性。有限段的解矩阵与光滑过渡矩阵复合，便得到所需结论。

沿收缩搬运一个基 ​

设底流形 $M$ 有光滑收缩

选 $E_{x_0}$ 的一组基 $v_1,\dots ,v_r$，沿 $t\mapsto H(t,x)$ 平行移动，得到

参数光滑性保证 $s_j$ 是光滑截面；每次平行移动可逆，保证它们在每个纤维仍为基。故丛有全局标架，得到光滑平凡化。开区间、开球和 ${\mathbb{R}}^d$ 采用直线收缩即可，所以任意丛在这些底空间上平凡。这里只需要这些显式光滑收缩；一般“拓扑可缩”的推广还涉及同伦与光滑化的比较。

圆周与球面线丛的分类理路圆周与球面的线丛分类Line bundle classification on S1 and S2 · 圆周实线丛与球面复线丛分类以两开集上的过渡函数分类圆周实线丛与球面复线丛，证明符号和绕数的不变性与完备性，并用局部对数实际构造同构及张量加法。由此获得两张大图上的标架，再分析重叠区的过渡函数。联络仅用来选择这些标架；分类中的符号或绕数不依赖这个选择。即使底空间可缩，不同路径的平行移动也可能不同，所构造的平凡化并没有证明联络路径无关。

切丛中的几何用途 ​

在 Riemann 流形上选取其 Levi–Civita 切丛联络时，满足

的曲线是Riemann 测地线理路测地线Geodesic由平行速度和固定端点能量的一阶变分刻画测地线，区分仿射参数、长度驻定与全局最短，并为 Jacobi 第二变分构造精确固定端点的变分。。一般切丛联络也有自己的自平行曲线，但不必对应某个指定度量的测地线。对这里的 Levi–Civita 联络，平行移动比较路径两端的向量，沿闭路返回后的无穷小失败由Riemann 曲率张量理路Riemann 曲率张量Riemann curvature tensor · Curvature tensor以协变微分不交换刻画 Riemann 流形内蕴曲率的四阶张量。刻画。联络也可延拓到对偶丛、张量积与外幂，使微分形式理路微分形式Differential form在每点切空间上光滑变化的交替多线性协变量场。和张量能够作协变微分。

Lie 括号理路向量场与 Lie 括号Vector field · Lie bracket of vector fields光滑切向量场及其由导子交换子定义、衡量局部流不对易性的 Lie 括号。只依赖光滑结构，联络则是额外选择。Riemann 度量理路Riemann 度量Riemannian metric在每一点切空间上光滑变化的正定内积。提供长度角度，Levi–Civita 定理再选出唯一相容联络；把这三层分开，才能区分坐标效应、联络效应与真正曲率。