形式陈述

Riemann 流形 $(M,g)$$(M,g)$ 上，Levi–Civita 联络为唯一无挠且与度量相容的联络。光滑曲线 $\gamma$$\gamma$ 称为仿射参数测地线，若

$$ \nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0. $$$${\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }}\dot{\gamma }=0.$$

在坐标中等价于测地线方程

$$ \ddot x^k+\Gamma^k_{ij}(x)\dot x^i\dot x^j=0. $$$${\ddot{x}}^k+{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k(x){\dot{x}}^i{\dot{x}}^j=0.$$

给定 $p\in M$$p\in M$ 和初速度 $v\in T_pM$$v\in T_{p}M$，ODE 局部存在唯一测地线。每条测地线在足够短的区间上最小化端点间长度；反过来，常速局部长度极小曲线是测地线，但测地线不必全局最短。

直觉

测地线是不受外力时速度沿自身平行移动的“最直”路径；局部上它也最短，但绕得太远后可能出现另一条更短路线。

例子与边界

Euclidean 空间测地线是匀速直线；球面测地线是大圆的匀速参数化。球面上从北极到南极有多条等长最短测地线，而沿大圆超过半圈的弧仍满足测地线方程却不再全局最短。任意非仿射重参数化会引入额外加速度，曲线像虽相同却未必满足上述方程；线性参数变换保持测地性。常值曲线也满足方程。测地完备性要求所有初速度解对全部时间存在，局部存在并不自动给出完备性。

推论与应用

测地线定义指数映射、距离和曲率比较，用于导航、广义相对论、形状分析以及流形上的优化算法。

参考资料

• Manfredo P. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1992，Chs. 3–5, Levi–Civita connection, geodesics and exponential map。
• Manfredo P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, 1976，Chs. 3–4, geodesics and local minimization on surfaces。