测地线

沿曲线的速度若平行移动，就没有内在加速度。在欧氏空间中这是匀速直线；对嵌入曲面，加速度可以垂直曲面，但不能有切向分量。一般流形无需放进环境空间，式 (1) 本身就是定义。

能量还记录走过各段的速率。对同一个几何路径，匀速走法能量最小；忽快忽慢虽不改变长度，却会增加能量。固定时间后使用能量，正好让测地线方程同时控制路径与参数化。

球面大圆与参数化 ​

在单位球面上，

具有单位速率，环境加速度为 $-\gamma (t)$，完全垂直球面。因此它是测地线。两非对跖点之间较短的大圆弧唯一最短；较长弧仍满足测地线方程。北极与南极之间有无穷多条等长最短半大圆。纬线除赤道外不是测地线，因为其加速度还有切向分量。

若 $c(s)=\gamma (\varphi (s))$，则

对非恒定测地线，非仿射重参数化会破坏式 (1)，即使曲线像不变；仿射参数变化保持测地性。常值曲线也满足式 (1)，但它没有单位速参数。

长度与能量各自保留什么 ​

记曲线长度为 $\ell (c)={\int }_a^b|\dot{c}|dt$。Cauchy–Schwarz 给

等号恰在速率为常数时成立。因而常速长度极小曲线也是能量极小曲线。对长度泛函，沿原路径的非匀速重参数化仍有相同长度；对能量泛函，这些方向通常有正的二次代价。二者的 Hessian 不能在所有切向量场上直接混用。

测地完备性要求所有初速度解对全部时间存在；局部 ODE 理论不自动给出完备性。下面实现小变分只用紧曲线附近的局部指数映射，不要求完备。

每个双端为零的场都能实现为固定端点变分 ​

沿 $\gamma$ 取光滑向量场 $V$，满足 $V(a)=V(b)=0$。指数映射定义为

右侧是初值 $(p,v)$ 的测地线在时间 $1$ 的值，对零向量附近的 $v$ 有定义。缩放初速度等价于缩放时间，故 $d({\exp }_p{)}_0$ 是恒等映射。ODE 光滑依赖说明 $\exp$ 在零截面附近光滑。

由于 $\gamma ([a,b])$ 紧，缩小统一的 $\epsilon >0$ 后，

在整个参数矩形上有定义。它满足

所以端点是对每个 $s$ 都精确固定的。一般仅知道某族曲线的端点一阶导数为零，并不足以断言该族端点固定；式 (4) 补上了这一步。

同理，两个双端为零的场 $V,W$ 可由

同时实现。这为双线性第二变分提供实际的两参数曲线族。

一阶变分逐项导出测地线方程 ​

令 $F(s,t)$ 是任意光滑固定端点变分，记 $T={\partial }_{t}F$、$S={\partial }_{s}F$。在拉回切丛中，度量相容与无挠性分别给出

积分区间紧，光滑性允许积分下求导。因此

最后一步使用端点对所有 $s$ 固定，故 $S(s,a)=S(s,b)=0$。

若 $\gamma$ 满足式 (1)，在 $s=0$ 的式 (5) 显然为零。反之，若每个固定端点变分的一阶导数都为零，式 (4) 允许任取双端为零的 $V$。若 $A=D_t\dot{\gamma }$ 在某个内点非零，取支于该点附近的非负光滑函数 $\eta$，使 $\eta A$ 非零，并取 $V=\eta A$，则

矛盾。故 $A$ 在内部为零，由连续性在端点也为零。这证明了能量驻定与测地线方程的等价。

Jacobi 场与第二变分理路Jacobi 场与共轭点Jacobi field · Conjugate point从测地线变分推导 Jacobi 方程，证明它给出固定端点能量 Hessian 的核，并完整计算球面弧长跨过 π 时的正、零、负方向与真实变分。继续对式 (5) 求导，得到曲率参与的指标形式。在单位球面上，它对长度小于 $\pi$ 的弧正定，在 $\pi$ 出现一维核，超过 $\pi$ 则有明确负方向。该页还用真实固定端点变分证明负方向确实产生更短的邻近曲线，而非只作形式符号判断。

一般向量场的一阶动力由局部流理路向量场的流Flow of a vector field · Local flow把光滑向量场积分为满足局部群律的一参数局部微分同胚族。组织；测地线方程也可在切丛上改写为 geodesic spray 的流。曲率张量理路Riemann 曲率张量Riemann curvature tensor · Curvature tensor以协变微分不交换刻画 Riemann 流形内蕴曲率的四阶张量。控制邻近测地线的偏离，二维情形由高斯曲率理路高斯曲率Gaussian curvature二维 Riemann 流形在一点截面曲率的内蕴标量。描述。

概率测度也能形成测地空间。位移插值理路位移插值Displacement interpolation · W2 displacement interpolation沿最优耦合直线移动每份质量，在 W2 空间中生成恒速测地线。先选欧氏空间中的最优平方成本耦合，再沿每对匹配点的直线同步搬运，使分布之间的 $W_2$ 距离按时间差线性变化；它不同于把两个端点分布作普通混合。

在 Euclidean 三维空间的光滑曲面上，诱导Levi–Civita导数等于环境导数的切向投影。测地曲率理路测地曲率与曲面内转弯Geodesic curvature · Darboux decomposition · 曲率向量的法向切向分解把曲面上曲线的加速度分成法向弯曲与面内转弯，计算圆柱螺旋线和球面纬线，并衔接测地线与Gauss–Bonnet。据此给出低门槛判据：单位速曲线满足 ${\alpha }^{″}=k_g(n\times T)+k_{n}n$，测地条件恰为 $k_g=0$。圆柱螺旋线与球面纬线的完整计算把“空间弯曲”与“曲面内转弯”分开；非恒速参数和全局最短性的限制仍沿用本页。

径向测地线的局部最短性可由Gauss径向正交引理理路Gauss径向正交引理Riemannian Gauss lemma · Gauss radial lemma · 黎曼几何Gauss引理 · 径向正交引理证明指数映射保留径向内积，由此分解曲线的径向与角向速度，认证正常球中心到球内点的最短连接及其唯一性，并处理离开球的竞争曲线与球面边界。补齐：指数映射保持径向内积，把任意竞争曲线的速度分成正交的径向与角向部分；离开正常球的路线在第一次到达球面时就已支付至少一个半径的长度。因此正常球中心到内部点的最短轨迹唯一，但球内任意两点的唯一性仍不能据此推出。Hopf–Rinow定理理路Hopf–Rinow完备性定理Hopf-Rinow theorem · Hopf–Rinow theorem · Hopf–Rinow定理 · 测地完备性定理在有限维连通无边界Riemann流形上证明度量完备、测地完备、单点指数映射全定义和闭有界集紧等价，并构造全局最短连接，分清存在、唯一与边界条件。进一步将度量完备与测地完备联系起来，并保证任意远端两点有极小连接；圆柱和球面都表明，这个全局存在性结论不附带唯一性。