测地线 | Codeboy's Blog

形式陈述

在带Riemann 度量 $g$ 的流形 $M$ 上，Levi–Civita 联络是度量唯一确定的无挠、度量相容联络。光滑曲线 $\gamma$ 称为仿射参数测地线，若

\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0.

在坐标中等价于测地线方程

\ddot x^k+\Gamma^k_{ij}(x)\dot x^i\dot x^j=0.

给定 $p\in M$ 和初速度 $v\in T_pM$ ，ODE 局部存在唯一测地线。每条测地线在足够短的区间上最小化端点间长度；反过来，常速局部长度极小曲线是测地线，但测地线不必全局最短。

直觉

测地线是“自身加速度没有切向分量”的曲线，即速度沿曲线平行移动。它局部实现最短或至少驻定长度，但越过共轭点或 cut locus 后可以不再全局最短。欧氏直线只是零曲率空间中的特例；在一般流形上，坐标表达会出现 Christoffel 符号。

例子与边界

Euclidean 空间测地线是匀速直线；球面测地线是大圆的匀速参数化。球面上从北极到南极有多条等长最短测地线，而沿大圆超过半圈的弧仍满足测地线方程却不再全局最短。任意非仿射重参数化会引入额外加速度，曲线像虽相同却未必满足上述方程；线性参数变换保持测地性。常值曲线也满足方程。测地完备性要求所有初速度解对全部时间存在，局部存在并不自动给出完备性。

球面的大圆弧是测地线。两非对跖点之间较短的大圆弧唯一最短，较长弧虽仍是测地线，却不是全局最短；对跖点之间则有无穷多条最短半大圆。纬线除赤道外不是测地线，因为保持纬度需要朝向旋转轴的切向加速度。局部长度极小与“曲率向量为零”需相对于流形联络理解。

推论与应用

测地线方程是二阶常微分方程。一般向量场的一阶动力由局部流组织；测地线则可在切丛上改写为 geodesic spray 的流。指数映射用初速度参数化局部邻域，完备性把测地线延伸与距离闭球性质联系起来；Riemann 曲率张量通过 Jacobi 方程控制邻近测地线的偏离，二维情形压缩为高斯曲率。

参考资料

Manfredo P. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1992，Chs. 3–5, Levi–Civita connection, geodesics and exponential map。
Manfredo P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, 1976，Chs. 3–4, geodesics and local minimization on surfaces。

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