群的第二同构定理

形式陈述 ​

设 $H\le G$、$N⊴G$。集合

$$HN=\{hn:h\in H,n\in N\}$$

是 $G$ 的子群，$H\cap N⊴H$，并且 $N⊴HN$。群的第二同构定理断言

$$H/(H\cap N)\cong HN/N.$$

证明不依赖图形记忆，而来自一个具体同态：

$$\phi :H⟶HN/N,h⟼hN.$$

它是满射，因为任意 $hnN=hN$；其核满足 $hN=N$ 当且仅当 $h\in H\cap N$。由第一同构定理公理库群第一同构定理First isomorphism theorem for groups群同态的定义域模核同构于其像。即得结论。$HN$ 的封闭性则使用 $N$ 的正规性把 $n{h}^{\prime }$ 改写成 $h^{\prime }{n}^{\prime }$；这一步正是一般子群乘积未必成群的缺口。

直觉 ​

把 $H$ 投影到 $G/N$ 时，落进 $N$ 的那部分完全消失，所以损失恰是 $H\cap N$。投影后能看见的所有陪集由 $H$ 与 $N$ 共同覆盖，正是 $HN/N$。定理因此只是“核描述损失、像描述剩余”在子群与商群几何中的展开。

菱形图常把 $H,N,H\cap N,HN$ 排在四角，但图本身不是证明。真正控制同构的是 $h\mapsto hN$；写出这个映射后，商掉哪部分以及同构落在哪里都不会混淆。

例子与边界 ​

在加法群 $G=\mathbb{Z}$ 中取 $H=4\mathbb{Z}$、$N=6\mathbb{Z}$。此时

$$H+N=2\mathbb{Z},H\cap N=12\mathbb{Z},$$

所以第二同构定理给出

$$4\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\cong 2\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}.$$

两边都是三阶循环群；映射把 $4+12\mathbb{Z}$ 送到 $4+6\mathbb{Z}$，明确展示同构并非两个陪集集合的字面相等。

若去掉正规性，$HN$ 甚至可能不是子群。在 $S_3$ 中取 $H=⟨(12)⟩$、$K=⟨(23)⟩$，则 $HK$ 有四个元素且对乘法不封闭。更一般地，只要一方正规化另一方，乘积仍可成为子群；本定理采用 $N⊴G$ 的清楚充分条件。还要注意核是 $H\cap N$，不是整个 $N$，因为 $N$ 未必包含于 $H$。

推论与应用 ​

有限群中对同一配置取阶，得到乘积公式

$$|HN|=\frac{|H||N|}{|H\cap N|}.$$

它量化两个子群的重叠，并常用于群阶与 Sylow 子群的计数。若 $H\cap N=\{e\}$，则 $H$ 同构于 $HN/N$；若再有 $HN=G$，$H$ 就为商群 $G/N$ 提供一个群内模型。

第二同构定理也说明每次把子群送入商群时都应同时检查核和像。它与对应定理公理库群的对应定理Correspondence theorem for groups · Lattice theorem商群的子群与原群中包含被商正规子群的子群一一对应，并保持包含与正规性。互补：对应定理处理已经包含 $N$ 的子群，第二同构定理则把任意 $H$ 扩张为 $HN$ 后再纳入对应框架。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., §3.3.
• Serge Lang, Algebra, revised 3rd ed., Springer, 2002, Chapter I.