群的第二同构定理

把 $H$ 投影到 $G/N$ 后，$H$ 中落在 $N$ 里的元素都映为单位元，所以核是 $H\cap N$。更一般地，对 $h_1,h_2\in H$，它们投影后重合恰好意味着 $h_1^{-1}{h}_2\in H\cap N$。因此 $H$ 按这个交集取商，就保留了投影后的全部信息。

四个群 $H$、$N$、$H\cap N$、$HN$ 常画成菱形：交集在下，乘积在上。沿着 $H\cap N\le H$ 取商，与沿着 $N\le HN$ 取商，得到的群同构；具体联系就是把 $h(H\cap N)$ 送到 $hN$。

在 $S_3$ 中取 $N=A_3$、$H=⟨(12)⟩$。有 $H\cap N=\{e\}$，且每个置换都可写成 $H$ 中元素与偶置换的乘积，所以 $HN=S_3$。定理给出

因此 $S_3$ 的奇偶商可以由换位子群在群内实现：单位元对应偶置换类，$(12)$ 对应奇置换类。换位还通过 $(12)(123)(12{)}^{-1}=(132)$ 反转三循环方向，所以这个内部组合是非平凡半直积。

在加法群 $\mathbb{Z}$ 中，对正整数 $m,n$，

第二同构定理于是统一给出

同构把 $a+\mathrm{lcm}(m,n)\mathbb{Z}$ 送到 $a+n\mathbb{Z}$。例如 $m=4,n=6$ 时，左边由 $0,4,8$ 代表三个模 $12$ 的陪集；右边是模 $6$ 的偶数类，它们依次映为 $\overline{0},\overline{4},\overline{2}$。两边都由 $4$ 的类生成，且该生成元都有三阶。

在 $S_3$ 中取 $H=⟨(12)⟩$、$K=⟨(23)⟩$，按右侧先作用的约定，$HK=\{e,(12),(23),(123)\}$。它包含 $(123)$，却不包含其平方 $(132)$，因此不是子群。这展示了正规性在封闭性证明中的作用。一般地，两个子群的集合积 $HK$ 是子群，当且仅当 $HK=KH$。

有限群中比较两边的阶，得到子群乘积公式

每个元素 $hn$ 恰好有 $|H\cap N|$ 种写法：对 $t\in H\cap N$，有 $hn=(ht)(t^{-1}n)$；反过来，若 $hn=h^{\prime }{n}^{\prime }$，则 $h^{-1}{h}^{\prime }=n{n}^{\prime -1}\in H\cap N$。这就解释了分母为何是交集大小。

若 $H\cap N=\{e\}$，限制投影在 $H$ 上单射，所以 $H\cong HN/N$。若再有 $HN=G$，$H$ 是商群 $G/N$ 的一个补群，$G$ 由 $N$ 与 $H$ 组成内部半直积；只有当两因子还逐元素交换时，才退化成内部直积。

第二同构定理与对应定理理路群的对应定理Correspondence theorem for groups · Lattice theorem商群的子群与原群中包含被商正规子群的子群一一对应，并保持格结构与正规性。互补。对应定理只直接处理包含 $N$ 的子群；任意 $H$ 未必包含 $N$，第二同构定理先把它扩大为 $HN$，再说明其投影对应于哪个商群子群。这个步骤是研究商映射下子群行为的标准工具。