群的第二同构定理

把 $H$ 放进 $G/N$ 后，$H$ 中恰好落在 $N$ 里的元素会消失，所以损失是交集 $H\cap N$。投影后能看见的陪集则由 $H$ 与 $N$ 一起覆盖，正是 $HN/N$。第二同构定理只是把“核衡量损失、像衡量剩余”放到一个子群穿过商映射的具体场景中。

四个群 $H$、$N$、$H\cap N$、$HN$ 常画成菱形：交集在下，乘积在上。图形有助于记忆包含关系，却不能替代映射。真正决定商掉哪一项的是 $h\mapsto hN$ 的核；真正决定右边落在哪里的是它的像。

左边出现 $H\cap N$，原因在于定义域只有 $H$。投影能从中抹去的仅是 $H$ 与 $N$ 重合的部分；$N$ 中不属于 $H$ 的元素从未进入这个限制映射。

在 $S_3$ 中取 $N=A_3$、$H=⟨(12)⟩$。有 $H\cap N=\{e\}$，且每个置换都可写成 $H$ 中元素与偶置换的乘积，所以 $HN=S_3$。定理给出

这揭示 $S_3$ 的奇偶商可以由任意一个换位子群在群内实现；但 $S_3$ 不是 $A_3$ 与该子群的直积，因为换位通过共轭非平凡地作用于 $A_3$。

在加法群 $\mathbb{Z}$ 中，对正整数 $m,n$，

第二同构定理于是统一给出

两边的底层陪集集合不同；映射 $a+\mathrm{lcm}(m,n)\mathbb{Z}\mapsto a+n\mathbb{Z}$ 明确给出它们之间的同构。

若把正规子群换成任意子群，$HN$ 甚至未必封闭。在 $S_3$ 中取 $H=⟨(12)⟩$、$K=⟨(23)⟩$，集合 $HK$ 只有四个元素，不可能是 $S_3$ 的子群，因为其阶不整除 $6$。更精确的充分必要条件是 $HK=KH$；本定理用 $N⊴G$ 提供一个稳固而易检验的充分条件。

有限群中比较两边的阶，得到子群乘积公式

它说明乘积规模等于两个规模之积，再除去重复计数的交集；这条公式常用于 Sylow 子群和有限群阶的论证。

若 $H\cap N=\{e\}$，限制投影在 $H$ 上单射，所以 $H\cong HN/N$。若再有 $HN=G$，$H$ 是商群 $G/N$ 的一个补群，$G$ 由 $N$ 与 $H$ 组成内部半直积；只有当两因子还逐元素交换时，才退化成内部直积。

第二同构定理与对应定理公理库群的对应定理Correspondence theorem for groups · Lattice theorem商群的子群与原群中包含被商正规子群的子群一一对应，并保持格结构与正规性。互补。对应定理只直接处理包含 $N$ 的子群；任意 $H$ 未必包含 $N$，第二同构定理先把它扩大为 $HN$，再说明其投影对应于哪个商群子群。这个步骤是研究商映射下子群行为的标准工具。