道路连通空间

道路连通要求任意两点之间存在一条由区间连续参数化的运动轨迹，比不能被开集分离的连通性更具构造性。参数只负责给运动排序并保证连续，不要求恒速、可导或不自交。路径的像本身是连通集，所以道路连通必推出连通；反向失败源于空间可能整体粘在一起，却缺少可穿过极限缝隙的连续曲线。路径可拼接和反向，因此道路可达形成等价关系。

凸子集通过直线段 $\gamma (t)=(1-t)x+ty$ 道路连通。道路连通必然连通，因为若空间被两个分离开集切开，路径的连续像 $[0,1]$ 也会被切开。逆命题不成立；拓扑学家的正弦曲线闭包是经典的连通但非道路连通例子。

若一族道路连通子集共有一个公共点，那么任意两点都可先沿路径走到公共点再离开，所以其并仍道路连通。仅有闭包相交不足以替代实际交点：两条互不相交、无限逼近的曲线可能仍属于不同道路分支。局部道路连通条件会进一步保证道路分支是开集。

连续路径公理库拓扑连续性Topological continuity · Continuous map目标开集的逆像始终开放，从而在不使用距离时表达映射不破坏局部邻近。定义道路连通，并蕴含连通性公理库连通空间Connected space不能被分成两个不交非空相对开集的空间。；任意连续映射的像也保持道路连通。路径同伦组成基本群公理库基本群Fundamental group基点回路按端点固定同伦分类后形成的群。，覆叠公理库覆叠空间Covering space连续满射在底空间每一点邻域上分解为若干互不相交的同胚片。的提升也沿路径传播。流形和 CW 复形等局部道路连通空间中，道路分支与连通分支一致，使逐分支分析更直接。