形式陈述

拓扑空间 $X$$X$ 称为道路连通，若对任意 $x,y\in X$$x,y\in X$，存在连续映射

$$ \gamma:[0,1]\to X $$$$\gamma :[0,1]\to X$$

使 $\gamma(0)=x$$\gamma (0)=x$、$\gamma(1)=y$$\gamma (1)=y$。这样的 $\gamma$$\gamma$ 称从 $x$$x$ 到 $y$$y$ 的道路。固定一点可达关系是等价关系，其等价类称道路连通分支。

直觉

道路连通要求能在空间内部连续地从任一点移动到任一点。参数区间只负责给移动排序与连续性，不要求恒速、可导或不自交。

例子与边界

凸子集通过直线段 $\gamma(t)=(1-t)x+ty$$\gamma (t)=(1-t)x+ty$ 道路连通。道路连通必然连通，因为若空间被两个分离开集切开，路径的连续像 $[0,1]$$[0,1]$ 也会被切开。逆命题不成立；拓扑学家的正弦曲线闭包是经典的连通但非道路连通例子。

推论与应用

连续像保持道路连通；道路可拼接、反向，从而定义基本群和同伦。局部道路连通空间中，道路分支是开集并与连通分支一致，但一般空间中二者可不同。

参考资料

• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000，§24。
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976，Ch. 2。