道路连通空间

道路是连续运动的参数化轨迹。参数 $t$ 只负责顺序与连续性，允许停顿、回头、自交，也不要求可微或长度有限。所以道路连通比“能用光滑曲线连接”适用更广。

道路连通必蕴含连通理路连通空间Connected space不能被分成两个不交非空相对开集的空间。。若 $X$ 被两个非空不交开集分开，分别在两侧取端点，连接它们的道路将通过逆像把 $[0,1]$ 也分为两个非空开部分。这与实区间的连通性矛盾。该证明依赖的是参数区间连通，而不是轨迹的图形好看。

欧氏空间的凸子集道路连通：$\gamma (t)=(1-t)x+ty$ 始终留在集合中。凸性是充分条件而非必要条件；穿孔平面 ${\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$ 不凸，却能先沿径向到单位圆、沿圆弧绕行，再径向到终点。

连通不必道路连通。拓扑学家的正弦曲线

是连通图像的闭包，故连通，却没有从竖线到振荡图像的道路。若存在这种道路，考察它最后离开竖线的参数时刻 $a$；此后横坐标为正且趋于零。由介值性，任意接近 $a$ 的一小段路径都会经过横坐标使正弦值等于 $1$ 和 $-1$ 的点，这与纵坐标在 $a$ 连续矛盾。

一族道路连通子集若共有一点，其并道路连通，因为可经公共点拼接道路。只有闭包相交则不够，例如 $(-1,0)\cup (0,1)$ 的两部分闭包相交，但原集合仍有两个道路分支。

连续像保持道路连通：若 $f:X\to Y$ 连续，直接后复合 $f\circ \gamma$ 就得到像中的道路。道路分支总包含在连通分支理路连通分支Connected component包含给定点的极大连通子集。中，通常可以更细。

若每个点有道路连通开邻域基，道路分支就是开集；连通空间不能被多个这样的开分支分开，因此局部道路连通空间的两种分支一致。流形属于这一类。进一步固定道路端点并研究同伦理路同伦Homotopy在连续参数下把一个连续映射变形成另一个连续映射。，便进入基本群理路基本群Fundamental group基点回路按端点固定同伦分类后形成的群。；覆叠空间理路覆叠空间Covering space连续满射在底空间每一点邻域上分解为若干互不相交的同胚片。则通过提升道路记录绕行历史。