形式陈述

拓扑空间 $X$$X$ 中，点 $x$$x$ 的连通分支 $C(x)$$C(x)$ 是包含 $x$$x$ 的所有连通子集之并；它是包含 $x$$x$ 的唯一极大连通子集。连通分支两两相同或不交，因此构成 $X$$X$ 的划分。每个连通分支都是闭集，因为连通集的闭包仍连通；但连通分支一般不必开。若空间局部连通，则每个开集的连通分支都开，特别地 $X$$X$ 的分支开闭。

直觉

从一点出发，把所有能与它共同处在某个连通块中的点收集起来，就得到不能再扩大的连续整体。

例子与边界

$\mathbb R\setminus\{0\}$$\mathbb{R}\setminus \{0\}$ 有两个开闭分支。拓扑学家的正弦曲线闭包是连通的，却含多个道路连通分支，说明连通分支不同于道路分支。完全不连通空间的分支都是单点，但这不等于离散；Cantor 集就是例子。分支作为闭集的任意并不一定闭，而不同分支可能在空间中彼此任意接近，因此不能无条件把分支当作开组件。

推论与应用

连通分支把任意空间分解成最大连通单元，用于分类解集、相空间、代数簇实点和拓扑群的恒等分支。

参考资料

• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000，§25, components and local connectedness。
• Stephen Willard, General Topology, Dover reprint, 2004，Ch. 4, connected components。