连通分支

分支回答的是“哪些点属于同一个不能用相对开集拆开的整体”。先固定 $x$，再把所有能与它处于同一个连通集合中的点收进来；共同的点 $x$ 保证这些集合不会在合并时散开。这与寻找一条可行走的曲线不同，后者定义的是道路分支。

为什么并集连通、分支闭 ​

若上述并集被两个不交非空相对开集 $U,V$ 分开，设 $x\in U$。每个参与并集的连通集合都含 $x$，所以不能再碰到 $V$；结果整个并都在 $U$ 中，与 $V$ 非空矛盾。

连通集 $A$ 的闭包理路内部、闭包与边界Interior, closure, and boundary集合的最大开子集、最小闭超集及二者确定的边界。仍连通：假如闭包有一个分离，$A$ 必全在其中一侧；另一侧若非空，它作为闭包中的开集必碰到 $A$，再次矛盾。对 $C(x)$ 应用这一事实，其闭包是更大的连通集，极大性给出 $\overline{C(x)}=C(x)$。

$\mathbb{R}\setminus \{0\}$ 的两个分支是 $(-\mathrm{\infty },0)$ 和 $(0,\mathrm{\infty })$。它们在该子空间中既开又闭；“闭”不是说它们作为实线子集也闭。

有理数空间 $\mathbb{Q}$ 的分支全是单点。若一个子集含 $p<q$，在两者之间选无理数 $a$，与 $(-\mathrm{\infty },a)$、$(a,\mathrm{\infty })$ 的交便给出分离。但有理数的任意邻域都含其他有理数，所以这些单点分支不开。Cantor 集同样完全不连通而非离散，说明“分支为单点”并不能恢复离散拓扑。

令 $G=\{(x,\sin \left(1/x\right)):0<x\le 1\}$。其闭包

只有一个连通分支：$G$ 是区间的连续像，取闭包保持连通。然而极限竖线与 $G$ 分属两个道路分支，因连续路径无法在有限参数时刻穿过无穷振荡。因而把连通分支直接解释成“沿曲线可达区域”会漏掉这种边界现象。

连续映射理路拓扑连续性Topological continuity · Continuous map目标开集的逆像始终开放，从而在不使用距离时表达映射不破坏局部邻近。把连通集送为连通集，因此 $f(C_X(x))\subseteq C_Y(f(x))$；不要求像填满目标分支。这个包含关系允许逐分支研究解集与拓扑群。

局部连通空间理路局部连通性Local connectedness每一点都有由连通开集组成的邻域基的性质。的分支开：分支中每一点都有包含于该分支的连通开邻域，取并即可。若还局部道路连通，则道路分支理路道路连通空间Path-connected space任意两点可由从单位区间出发的连续路径连接。与连通分支一致。没有这些条件，不能把分支划分当作一族互相隔离的开组件，也不能断言分支的任意并闭。