连通分支

把所有含给定点的连通子集取并，因它们共享该点，所得并仍连通，且自动达到极大。分支因此是由拓扑决定的不可再扩张整体，而不是某种任选分组。每个点恰属于一个分支，分支总闭；是否开放则需要局部连通等额外条件。

$\mathbb{R}\setminus \{0\}$ 有两个开闭分支。拓扑学家的正弦曲线闭包是连通的，却含多个道路连通分支，说明连通分支不同于道路分支。完全不连通空间的分支都是单点，但这不等于离散；Cantor 集就是例子。分支作为闭集的任意并不一定闭，而不同分支可能在空间中彼此任意接近，因此不能无条件把分支当作开组件。

在 $\mathbb{Q}$ 的通常子空间拓扑中，每个连通分支都是单点，因为两个不同有理数可由其间的无理切口分开；但单点不开放，所以这些分支不形成开分解。局部连通空间中情况不同：每个连通分支都是开集。

连通子集公理库连通空间Connected space不能被分成两个不交非空相对开集的空间。的极大者形成连通分支，道路分支公理库道路连通空间Path-connected space任意两点可由从单位区间出发的连续路径连接。通常更细。局部连通性公理库局部连通性Local connectedness每一点都有由连通开集组成的邻域基的性质。保证连通分支开，从而商到分支集合具有较清晰的离散结构。解集、拓扑群和流形常先逐分支分析；连续映射会把每个连通分支送入目标的某个连通分支。