Jordan 曲线定理

无自交的闭合轨迹能把平面隔成两侧，但“看起来有内外”只解释了最规整的图形。连续单射可以在任意小尺度上反复弯折，未必能用切线定义左右；证明要处理的是这种任意连续嵌入。

结论还比“补集不连通”更强：没有第三个孤立区域，而且曲线上每一点都能从两侧逼近。注意曲线 $C$ 自己的内部 ${\mathrm{int}}_{{\mathbb{R}}^2}C$ 为空；定理口语中的“曲线内部”是有界补集分支 $U$，两者不是同一集合。

证明的两个关口 ​

一种初等路线分别证明“至少两个分支”和“至多两个分支”。Alexander 的路线以有限直角折线组成的闭环逼近紧集，用模二交点数记录穿越奇偶性，先排除补集只有一个分支。随后用绕行引理调整避开两段曲线的路径，得到 Jordan 弧不分离平面，再排除三个分支同时存在。近似只是工具；必须证明这些穿越、绕行信息确实对原曲线有效，不能只画越来越细的多边形便宣布极限也成立。

同调理路奇异同调Singular homology由奇异单形生成链复形，再以循环模边界得到的拓扑不变量。路线则把平面加无穷远点变成球面，计算曲线补集的零维同调有两个独立生成元，再把它解释为两个道路分支。这是另一套证明工具，不是定义中隐藏的光滑性假设。

单位圆 $C=\{(x,y):x^2+y^2=1\}$ 的两分支为 $U=\{x^2+y^2<1\}$ 和 $V=\{x^2+y^2>1\}$。圆内点可沿线段连接，圆外点可先沿径向走到同一个大圆，再沿大圆连接；两侧都道路连通。若路径从 $U$ 到 $V$，连续函数 $x^2+y^2$ 必经过值 $1$，故路径必碰到 $C$。

两圆在一点相切形成数字 8 形，其补集有两个有界圆内区域及一个无界区域。它不是圆周的嵌入，说明允许自交或重复经过同一点会破坏“两分支”结论。去掉闭合条件也不行：一条平面线段的补集道路连通，路径可以绕过端点。

Koch 雪花的边界虽无有限长度、缺乏通常的光滑性，仍是一条 Jordan 曲线。定理并不保证长度、面积或可数值参数化等分析性质。更强的 Jordan–Schoenflies 定理还说明 $C\cup U$ 同胚于闭圆盘；这比仅数出补集分支多了一层内部结构结论。

三维中嵌入圆周的补集仍连通，因此不能照搬平面内外图像。相应的高维 Jordan–Brouwer 定理研究的是 $S^{n-1}$ 嵌入 ${\mathbb{R}}^n$ 的余维一情形。

从有界域到无界域的任意道路都要穿过曲线，否则道路的连通像将同时落入两个不同补集分支。这个事实为平面区域划分及复分析中的围道提供拓扑依据。

对简单多边形，可用从待测点发出的射线与边界交点数的奇偶性判定内外，但射线经过顶点、沿边重合、点恰在边界上时必须另作一致处理。Jordan 定理保证内外概念成立，具体的计算几何算法还需处理这些退化输入。