形式陈述

Jordan 曲线是连续单射 $f:S^1\to\mathbb R^2$$f:S^1\to {\mathbb{R}}^2$ 的像 $C=f(S^1)$$C=f(S^1)$。Jordan 曲线定理断言补集

$$ \mathbb R^2\setminus C $$$${\mathbb{R}}^2\setminus C$$

恰有两个连通分支：一个有界的内部和一个无界的外部；并且 $C$$C$ 是这两个分支的共同边界。由于 $S^1$$S^1$ 紧、$\mathbb R^2$${\mathbb{R}}^2$ Hausdorff，连续单射自动给出到其像的同胚。定理不要求曲线分段光滑、可微或多边形化。

直觉

任何不自交的闭环都真正把平面分成里面和外面，即使曲线极端锯齿或不可微；这一直觉事实对一般连续曲线的证明并不初等。

例子与边界

圆和简单多边形都是 Jordan 曲线。数字 8 形因自交不是 Jordan 曲线，其补集可有三个分区。连续闭曲线若不是单射，结论不再保证。定理只给分离与共同边界；更强的 Jordan–Schoenflies 定理还断言曲线连同内部同胚于闭圆盘。三维中简单闭曲线通常不分离 $\mathbb R^3$${\mathbb{R}}^3$，因此结论高度依赖二维余维一情形。

推论与应用

Jordan 曲线定理支撑平面拓扑、绕数、复分析积分和计算几何中的点内外判定，也是高维 Jordan–Brouwer 分离定理的二维原型。

参考资料

• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000，§61, Jordan curve theorem。
• Glen E. Bredon, Topology and Geometry, Springer, 1993，Ch. VI, separation by spheres and Jordan-type results。