Jordan 曲线定理

一条简单闭曲线即使极其粗糙，也会把平面切成恰好一个有界内域和一个无界外域，曲线同时是两者的共同边界。难点在于“简单”只给连续单射，没有光滑切线或多边形组合可用；局部弯曲任意复杂，分离结论仍是全局拓扑必然。自交会让“内外各一个”立刻失效。

圆和简单多边形都是 Jordan 曲线。数字 8 形因自交不是 Jordan 曲线，其补集可有三个分区。连续闭曲线若不是单射，结论不再保证。定理只给分离与共同边界；更强的 Jordan–Schoenflies 定理还断言曲线连同内部同胚于闭圆盘。三维中简单闭曲线通常不分离 ${\mathbb{R}}^3$，因此结论高度依赖二维余维一情形。

Koch 雪花的边界处处不可微，却仍是 Jordan 曲线，所以定理只依赖连续性与单射性，不需要切线或有限长度。相反，一条简单弧若没有闭合，例如平面中的线段，其补集仍道路连通，并不会产生“内部”。闭合这一条件负责形成障碍，光有无自交的参数曲线还不够。

连续单射公理库拓扑连续性Topological continuity · Continuous map目标开集的逆像始终开放，从而在不使用距离时表达映射不破坏局部邻近。把圆周嵌入平面，补集分支公理库连通分支Connected component包含给定点的极大连通子集。给出内外区域，边界公理库内部、闭包与边界Interior, closure, and boundary集合的最大开子集、最小闭超集及二者确定的边界。说明两域共享原曲线。它支撑点在多边形内判定、平面分割和复分析围道概念；高维的 Jordan–Brouwer 分离定理把嵌入 $S^{n-1}\subset {\mathbb{R}}^n$ 推广为两侧分离。