环路空间

环路空间把“在 $X$ 中运动的一条闭路”当成一个点。于是 $X$ 中的一族环路变成 $\mathrm{\Omega }X$ 中的一条路径，$X$ 中的二维球面变成环路空间中的一维回路。每迭代一次 $\mathrm{\Omega }$，同伦维数便降低一阶，这让难以直接看见的高维缠绕转化为函数空间里的连通性问题。

空间中的洞没有消失，而是被重新编码：$\mathrm{\Omega }X$ 的分支记录 ${\pi }_1(X)$，每个分支内部的环路再记录 ${\pi }_2(X)$，如此逐层展开。函数空间拓扑不可省略，否则只能得到环路的集合，无法谈分支、连续族和更高同伦群。

对 $S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$，每条基点环路都有唯一提升

整数 $n$ 在环路同伦中不变，因而标记 $\mathrm{\Omega }{S}^1$ 的道路分支。固定 $n$ 后，所有从 $0$ 到 $n$ 的提升路径构成凸集：两条路径可用逐点线性插值相连，并收缩到 $t\mapsto nt$。所以每个分支可缩，得到

（右边取离散拓扑）。这同时复算了 ${\pi }_1(S^1)=\mathbb{Z}$ 与 ${\pi }_k(S^1)=0$（$k>1$）。

对 $S^n$（$n\ge 2$），$\mathrm{\Omega }{S}^n$ 是道路连通的，却通常远非可缩；例如 ${\pi }_{n-1}(\mathrm{\Omega }{S}^n)\cong {\pi }_n(S^n)\cong \mathbb{Z}$。因此“原空间单连通”只消去环路空间的分支，不会消去其内部高阶拓扑。

自由环路空间 $LX=\mathrm{Map}(S^1,X)$ 不要求环路经过 $x_0$，与 $\mathrm{\Omega }X$ 不同。当 $X$ 道路连通时，$LX$ 的道路分支由基本群的共轭类标记，而 $\mathrm{\Omega }X$ 的道路分支直接形成基本群。忽略这一固定条件，会把自由同伦与基点同伦混在一起。环路连接也只在同伦意义下严格表现为群，不能把上述点集乘法误称为一般拓扑群结构。

路径空间纤维化 $\mathrm{\Omega }X\to PX\to X$ 的总空间可缩，是环路空间降维公式的几何来源。迭代环路空间 ${\mathrm{\Omega }}^{r}X$ 把稳定同伦问题变成一列结构相容的映射空间；谱对象与无限环路空间进一步要求这些降维同构彼此协调。

环路与悬挂之间存在自然伴随，映射 $\mathrm{\Sigma }A\to X$ 等价地编码为映射 $A\to \mathrm{\Omega }X$。这是映射集或映射空间层面的对应，并不宣称 $\mathrm{\Sigma }$ 与 $\mathrm{\Omega }$ 在所有对象上互为逆。环路空间还把同伦群的群运算几何化，是纤维序列、Whitehead 积和迭代分类空间的共同接口。