外测度

覆盖构造先允许使用规则简单的集合包住目标，再取所有覆盖成本的下确界；因此它能给任意子集分配一个外部估计，而不预设该集合可测。次可加性反映分别覆盖各部分再合并总是可行，但这些覆盖可能重叠，所以通常只能得到不等式。Carathéodory 可测性要求集合像一把不会增加成本的刀，能把每个测试集的外测度精确分成内外两块。

Lebesgue 外测度由可数开区间覆盖长度的下确界定义。任意测度 $\mu$ 都能在其定义域外诱导覆盖型外测度，但外测度通常不对不交集合可加；不可测集合正是在可加分割上失败。外测度可以取 $\mathrm{\infty }$。仅有空集取零和 $\sigma$-次可加性并不能推出单调性，故单调性是这里独立列出的公理；某些教材从覆盖构造出发，使用可推出这些性质的等价定义。

在 $\mathbb{R}$ 中，区间 $[a,b]$ 的 Lebesgue 外测度为 $b-a$：自身给出上界，而任意开区间覆盖的总长度不能低于该长度。可数集外测度为零，因为可给第 $n$ 个点套上长度总和任意小的区间。相反，Vitali 型集合虽有外测度，却不满足可测分割条件；“外测度有数值”不等于“已成为测度空间中的可测集合”。

测度公理库测度Measure在可测集合上取非负扩展实值、并对不交可数并保持可加性的函数。只在 $\sigma$-代数上可数可加，外测度则先覆盖整个幂集公理库幂集Power set把 A 的每一种子集选择提升为元素所得的集合，记作 P(A)。，再筛选可测对象。这个过程产生 Lebesgue 测度，并为Lebesgue 积分公理库Lebesgue 积分Lebesgue integral从简单函数积分出发，按单调逼近定义非负、扩展值与可积函数的积分。提供定义域；在概率扩张与几何测度中，也常从半环或覆盖代价出发，把局部长度规则延伸为全局测量。

若覆盖成本按集合直径的幂次计价，同样的思路会产生 Hausdorff 测度，并据此比较曲线、曲面和分形在不同维数下的大小。