外测度

外测度先给所有集合分配一个“从外面盖住它所需的最小成本”，再问哪些集合能被可靠地切开。它的定义域是整个幂集理路幂集Power set把 A 的每一种子集选择提升为元素所得的集合，记作 P(A)。，并不预先假定被测集合具有规则边界或可测性。

覆盖构造为什么只有次可加性？把每个 $A_n$ 的便宜覆盖合在一起，就得到并集的覆盖；但不同部分的覆盖可能重叠，分别计价会重复收费。严格证明时，若 $\sum _n{\mu }^{\ast }(A_n)<\mathrm{\infty }$，可让第 $n$ 份覆盖的成本小于 ${\mu }^{\ast }(A_n)+\epsilon 2^{-n}$。合并后的额外成本总和不超过 $\epsilon$，令 $\epsilon \downarrow 0$ 得所需不等式。若右端无穷，不等式自动成立。

Carathéodory 条件要求 $E$ 像一把“无额外成本的切刀”，对每个测试集 $A$ 都能精确分割。次可加性已经保证 ${\mu }^{\ast }(A)\le {\mu }^{\ast }(A\cap E)+{\mu }^{\ast }(A\setminus E)$，真正需要证明的是反向不等式；只用 $A=X$ 测试是不够的。

Lebesgue 外测度定义为

对 $a\le b$ 的闭区间 $[a,b]$，用 $(a-\epsilon /2,b+\epsilon /2)$ 覆盖给出 $m^{\ast }([a,b])\le b-a+\epsilon$，令 $\epsilon \downarrow 0$ 得上界 $b-a$。反向由Heine–Borel 定理理路Heine–Borel 定理Heine–Borel theorem欧氏空间子集紧致当且仅当它闭且有界。，闭区间紧：任意可数开区间覆盖都有有限子覆盖，而覆盖整个区间的有限组区间长度之和至少为 $b-a$。不能直接说“用自身作为开区间覆盖”，因为 $[a,b]$ 并不是开区间。

若 $A=\{a_1,a_2,\dots \}$ 可数，就让包住 $a_n$ 的区间长度为 $\epsilon 2^{-n}$，总成本至多 $\epsilon$，因此 $m^{\ast }(A)=0$。所以稠密的 $\mathbb{Q}$ 仍然长度为零；稠密性与测度大小不同。

不必借助 Vitali 集也能看见非可加性。在 $X=\{a,b\}$ 上令 ${\mu }^{\ast }(\varnothing )=0$，每个非空集外测度均为 $1$。这满足三条外测度公理，但

取 $A=X$ 即可发现单点不满足 Carathéodory 条件。Vitali 型集合则说明 Lebesgue 外测度也不能在整个幂集上变成可数可加测度。

外测度允许取 $\mathrm{\infty }$。单调性也必须保留：在同一两点集上另设 $v(\{a\})=1$、其余子集的 $v$ 都为零，就满足空集为零和可数次可加性，却不单调。任意已有测度可借可测集合覆盖在全幂集上诱导外测度，但需要再作可测性筛选。

测度理路测度Measure在可测集合上取非负扩展实值、并对不交可数并保持可加性的函数。只在 $\sigma$-代数上可数可加，外测度则先覆盖整个幂集理路幂集Power set把 A 的每一种子集选择提升为元素所得的集合，记作 P(A)。，再筛选可测对象。这个过程产生 Lebesgue 测度，并为Lebesgue 积分理路Lebesgue 积分Lebesgue integral从简单函数积分出发，按单调逼近定义非负、扩展值与可积函数的积分。提供定义域；在概率扩张与几何测度中，也常从半环或覆盖代价出发，把局部长度规则延伸为全局测量。

若覆盖成本按集合直径的幂次计价，同样的思路会产生 Hausdorff 测度，并据此比较曲线、曲面和分形在不同维数下的大小。