形式陈述

集合 $X$$X$ 上的外测度是函数 $\mu^*:2^X\to[0,\infty]$${\mu }^{\ast }:2^X\to [0,\mathrm{\infty }]$，满足

$$ \mu^*(\varnothing)=0, \qquad A\subseteq B\Longrightarrow\mu^*(A)\le\mu^*(B), $$$${\mu }^{\ast }(\varnothing )=0,A\subseteq B⟹{\mu }^{\ast }(A)\le {\mu }^{\ast }(B),$$

以及对任意可数集合列

$$ \mu^*\!\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right) \le\sum_{n=1}^{\infty}\mu^*(A_n). $$$${\mu }^{\ast }\left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)\le \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }^{\ast }(A_n).$$

最后一条是对可数并的次可加性（$\sigma$$\sigma$-次可加性），不是对两两不交可数并的可加性。集合 $E$$E$ 称 Carathéodory 可测，若对所有 $A\subseteq X$$A\subseteq X$，

$$ \mu^*(A)=\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\setminus E). $$$${\mu }^{\ast }(A)={\mu }^{\ast }(A\cap E)+{\mu }^{\ast }(A\setminus E).$$

这些可测集构成 $\sigma$$\sigma$-代数，$\mu^*$${\mu }^{\ast }$ 在其上限制为完备测度。

直觉

外测度先给每个集合一个“覆盖成本”，即使集合很不规则也能赋值；Carathéodory 条件再筛出那些能够把任意测试集合无损地切成内外两部分的集合。

例子与边界

Lebesgue 外测度由可数开区间覆盖长度的下确界定义。任意测度 $\mu$$\mu$ 都能在其定义域外诱导覆盖型外测度，但外测度通常不对不交集合可加；不可测集合正是在可加分割上失败。外测度可以取 $\infty$$\mathrm{\infty }$。仅有空集取零和 $\sigma$$\sigma$-次可加性并不能推出单调性，故单调性是这里独立列出的公理；某些教材从覆盖构造出发，使用可推出这些性质的等价定义。

推论与应用

外测度是由几何覆盖构造 Lebesgue 测度、Hausdorff 测度和概率测度扩张的入口；Carathéodory 构造把“所有子集上的粗赋值”转成真正可数可加的测度空间。

参考资料

• Gerald B. Folland, Real Analysis, 2nd ed., Wiley, 1999，Ch. 1, outer measures and the Carathéodory construction。
• Patrick Billingsley, Probability and Measure, 3rd ed., Wiley, 1995，Ch. 2, outer measure and extension of measures。