形式陈述

集合 $A$$A$ 称为不可数，若它不是至多可数，即不存在单射 $A\hookrightarrow\mathbb N$$A\hookrightarrow \mathbb{N}$。在经典集合论中，等价地，不存在从 $\mathbb N$$\mathbb{N}$ 到 $A$$A$ 的满射，因此任何自然数序列

$$ a_0,a_1,a_2,\ldots $$$$a_0,a_1,a_2,\dots$$

都遗漏 $A$$A$ 中至少一个元素。

直觉

不可数并非“非常多但仍能慢慢列完”，而是任何按自然数编号的无限清单都必定漏项。它是一种严格的基数差异，而不是计算速度或记号长度差异。

例子与边界

$\mathbb R$$\mathbb{R}$、区间 $[0,1]$$[0,1]$ 和所有无限二进制序列的集合 $\{0,1\}^{\mathbb N}$$\{0,1{\}}^{\mathbb{N}}$ 都不可数。不可数集可以包含稠密的可数子集，例如 $\mathbb Q\subset\mathbb R$$\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$；稠密性描述拓扑逼近，不能决定基数大小。

推论与应用

不可数性说明某些对象不能由单一离散列表穷尽，并导向连续统、幂集定理和不同无限基数。证明通常构造从已知不可数集的单射，或直接用对角线反驳任意假想枚举。

参考资料

• Paul R. Halmos, Naive Set Theory, 1960; Dover reprint 2017，§§22–24。
• Daniel J. Velleman, How to Prove It: A Structured Approach, 3rd ed., Cambridge University Press, 2019，Ch. 7。