不可数集

不可数意味着“自然数编号的名单装不下”。失败与列举速度无关：允许无限时间、任意重排甚至重复项目，名单仍会漏掉某个成员。证明时必须处理任意候选枚举，不能只指出某种熟悉排列方法不奏效。

“不可数”只划出第一道无限规模分界，不会把所有越界集合压成同一个大小。实数集是最常见的不可数集，它的幂集又严格更大；因此不可数基数之间仍有层级。

$\mathcal{P}(\mathbb{N})$ 与无限二进制序列集 $\{0,1{\}}^{\mathbb{N}}$ 等势：把子集 $S$ 送到特征序列 ${\chi }_S$ 即可。若尝试列出全部序列 $s_0,s_1,\dots$，定义

便得到不等于任一 $s_n$ 的新序列。因此二者不可数；再把二进制序列编码进 Cantor 三分集，就能把不可数性传递给 $[0,1]$ 与 $\mathbb{R}$。

这个 Cantor 三分集还是一条结构边界：它不可数并与 $[0,1]$ 等势，却闭、无处稠密且 Lebesgue 测度为零。反过来，$\mathbb{Q}$ 可数却在 $\mathbb{R}$ 中稠密。基数、拓扑稠密性和测度描述不同性质，任何一项都不能替另外两项下结论。

不可数性沿包含向上传递。若 $A\subseteq B$ 且 $A$ 不可数，那么 $B$ 也不可数；否则 $B\hookrightarrow \mathbb{N}$ 限制到 $A$ 会给出矛盾。沿函数传递时则要检查方向：从已知不可数集到 $B$ 的单射可证明 $B$ 不可数，从 $B$ 到已知不可数集的单射通常不够。

Cantor 对角论证公理库康托对角线论证Cantor diagonal argument通过在第 n 位偏离第 n 个候选对象构造未被枚举对象的方法。提供直接证法；基数公理库基数Cardinality · Size of a set忽略元素性质与排列，只用双射和单射刻画集合的大小及其比较。比较则提供传递证法。Cantor 定理对每个集合 $A$ 都给出

所以没有最大的不可数基数。以 $A=\mathbb{N}$ 起步，便得到连续统大小 $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$。

“不可数”也不等于“与实数等势”。连续统假设公理库连续统假设Continuum hypothesis · CH断言连续统恰为最小不可数基数、且相对于 ZFC 独立的集合论命题。只在 ${\mathrm{\aleph }}_0$ 与 $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ 之间排除中间基数；无论它成立与否，$\mathcal{P}(\mathbb{R})$ 都比 $\mathbb{R}$ 更大。区分这些层次后，分析中的可分性、测度零集和集合论中的基数大小才不会被混为一谈。