康托–施罗德–伯恩斯坦定理

两边都能无碰撞地嵌入对方，直觉上说明谁也不比谁“严格更大”，定理确认这个直觉：大小相同，即存在完美配对。难点在于 $f$ 和 $g$ 是两套互不商量的配对方案，不能简单拼接。构造的思路是把 $A\cup B$ 的元素沿 $f,g$ 交替前进和回溯，分解成一条条链，再按链的“出身”分配匹配方向：从 $A$ 中未被 $g$ 命中的点出发的链（对应 $C$），只能用 $f$ 向前配；其余元素所在的链用 $g$ 反向配。集合 $C$ 正是“必须交给 $f$”的部分沿 $g\circ f$ 迭代传播的结果。一个常用的类比是两家酒店互相声称能安置对方全部客人：定理说这时必存在一个让两边同时满员的安置方案，但方案要按客人的“追溯源头”分流，而不是随便混用两张安置表。

取 $A=(0,1)$，$B=[0,1]$。包含映射 $(0,1)\hookrightarrow [0,1]$ 是单射，反向映射 $x\mapsto \frac{x}{2}+\frac{1}{4}$ 把 $[0,1]$ 单射进 $(0,1)$，所以两区间等势。任何直接双射都必须显式安置端点 $0,1$；Cantor–Schröder–Bernstein 定理把这项麻烦交给统一构造，只要求两个方向的无碰撞编码。

证明 $|\mathbb{R}|=|\mathcal{P}(\mathbb{N})|$ 时，展开表示必须处理非唯一性。先把 $\mathbb{R}$ 双射到 $(0,1)$，再为每个数选择“不以无限个 1 结尾”的规范二进制展开，并把值为 1 的位位置组成自然数子集，得到 $\mathbb{R}\hookrightarrow \mathcal{P}(\mathbb{N})$。反方向可令

把子集的特征序列写成只含 0、2 的三进制数，得到 $\mathcal{P}(\mathbb{N})\hookrightarrow [0,1]\subset \mathbb{R}$。两次编码都明确消除了小数展开的二义性，定理于是给出双射。

边界情形：把假设换成“两边满射”就出了 ZF 的射程——从满射 $A\twoheadrightarrow B$ 构造反向单射需要为每个 $b$ 在原像中选点，这一步依赖选择公理公理库选择公理Axiom of choice · AC把任意集合族中逐个存在的元素同时汇成一个选择函数的公理。；“双向满射版本”在 ZF 中不可证。也不能把定理误记为“单射加满射给出双射”：假设是两个方向各一个单射，两个映射可以毫无关系。此外，定理是纯集合论陈述，不承诺保持任何附加结构——两个偏序集互相嵌入不必序同构（例如 $[0,1]$ 与 $(0,1)$ 作为全序集互相单调嵌入，却不序同构，因为一个有最大元一个没有）。

定理最重要的结构性后果是：基数比较关系 $\le$ 在等势类上反对称，从而与自反性、传递性合在一起构成真正的偏序公理库偏序Partial order · Partially ordered set满足自反、反对称和传递性的关系。——没有它，$|A|\le |B|\le |A|$ 而 $|A|\ne |B|$ 的怪象无法排除，基数公理库基数Cardinality · Size of a set忽略元素性质与排列，只用双射和单射刻画集合的大小及其比较。理论无从谈起（在选择公理下这个偏序进一步成为全序，但全序性是另一条公理的贡献）。实用层面，它是证明等势的首选杠杆：验证两个单射几乎总比构造一个双射便宜，诸如 $|{\mathbb{R}}^2|=|\mathbb{R}|$、连续函数空间 $C(\mathbb{R},\mathbb{R})$ 与 $\mathbb{R}$ 等势这类结论都靠双向编码一步到位。在可数集公理库可数集Countable set · At most countable · Countably infinite能单射进自然数集的集合；等价地，它有限或能按自然数无重复枚举。的判定中它同样常用：给出 $A\hookrightarrow \mathbb{N}$ 与 $\mathbb{N}\hookrightarrow A$ 即证 $A$ 可数无限。