Prokhorov 定理

弱收敛只使用有界连续仪器，因此一列分布若在每个有限区域都逐渐消失，就可能找不到仍有总质量一的极限。紧性恰好堵住这个出口：无论取族中哪个分布，绝大部分质量都被同一个紧核心扣住。紧核心内部具有有限覆盖性质，于是可以不断抽取在更细观测尺度上稳定的子列。

Prokhorov 定理把“尾部不逃跑”与“总能抽出分布极限”变成同一件事。前者往往可由矩估计、模连续性或能量界直接验证，后者才是存在性证明真正需要的结论。这使它成为概率版的 Bolzano–Weierstrass 原理。

Polish 条件不是装饰。可分性把需要同时稳定的观测压缩到可数层次，完备性防止候选极限落到空间缺失的点；在更一般空间中，定理需要 Radon、Prokhorov space 等替代假设，不能只写“任意拓扑空间”。

设 $({\mu }_n)$ 是实线上高斯分布序列，均值满足 $|m_n|\le M$，方差满足 ${\sigma }_n^2\le V$。对 $R>M$，

因此该序列紧，Prokhorov 定理保证存在弱收敛子列。事实上还可从有界数列 $(m_n,{\sigma }_n^2)$ 抽出参数收敛子列；若 ${\sigma }_n^2\to 0$，极限可以是点质量 ${\delta }_m$，所以闭包必须允许退化高斯分布。

相反，${\mu }_n={\delta }_n$ 在 $\mathbb{R}$ 上不紧，也没有弱收敛子列。若假设某子列弱收敛到概率 $\mu$，为 $\mu$ 选取质量大于 $1/2$ 的紧集 $K$，再取包含 $K$ 的有界开邻域 $G$；足够大的 $n_k$ 都在 $G$ 外，于是 ${\mu }_{n_k}(G)=0$，与 Portmanteau 的 $lim inf{\mu }_{n_k}(G)\ge \mu (G)>1/2$ 矛盾。

有界支撑不等于紧性，除非承载空间保证相应有界集相对紧。在无限维 Hilbert 空间中，点质量族 $\{{\delta }_{e_n}\}$ 支撑都在闭单位球内，但标准正交向量列没有收敛子列；该点质量族不紧。若误把“统一有界”当成“统一紧”，Prokhorov 的前提并未真正建立。

定理给弱子列，不给总变差子列，也不保证整列收敛。若所有可能的弱子列极限再由独立论证证明相同，才能把子列紧性升级为整列收敛。

在随机过程极限中，先把每个过程看成路径空间上的概率测度。有限维分布收敛识别候选极限，紧性估计则借 Prokhorov 抽出路径律的弱收敛子列。对连续路径空间，常用增量矩或模连续性构造紧集；仅控制每个固定时刻的分布通常不够。

最优传输与变分概率中，一列近似极小化概率测度若有统一矩界，往往先得到紧性，再抽取弱极限；下半连续性随后把目标函数的下界传给极限，从而证明极小值存在。贝叶斯后验、经验过程和随机偏微分方程的存在性证明也使用同一“先紧、再识别”的路线。

这里的空间假设可以进一步拆开核验：Polish 空间理路Polish 空间Polish space可分且可完全度量化的拓扑空间；用换度量、可数乘积和子空间例子区分拓扑性质与指定度量的完备性。要求存在相容的完备度量并具有可数稠密集，不要求每一种相容度量都完备。该条目给出开区间换度量和可数乘积的具体构造，适合在应用本定理前检查路径值域是否满足条件。