稠密子空间

稠密表示不存在能完全避开 $D$ 的非空开窗口。它可以作为逼近整个空间的采样骨架，却不要求自己含有任何开区间，也不表达概率、面积或点数占比。

环境必须明确：$(0,1)$ 在 $[0,1]$ 中稠密，在 $\mathbb{R}$ 中却不稠密。前一种情况下只需逼近两个端点；后一种情况下，开区间 $(2,3)$ 是一个直接反证。

有理数在实线稠密。给定 $a<b$，先选正整数 $n$ 使 $n(b-a)>1$，再找整数 $m$ 落在 $na$ 与 $nb$ 之间，即得 $m/n\in (a,b)$。无理数也稠密，例如足够小的非零有理数倍 $\sqrt{2}$ 加到区间内部某个有理点上即可。这给出两个互不相交的稠密集，所以稠密集的交甚至可能为空。

$\mathbb{Q}$ 可数且 Lebesgue 测度为零，仍然稠密；$\mathbb{Z}$ 虽无限，却避开 $(1/4,3/4)$。因此无限、不可数、正测度都不是稠密的定义或等价判据。

在离散空间中，若漏掉一点 $x$，开集 $\{x\}$ 就避开 $D$，故唯一稠密子集是全空间。相反，在 $X=\{0,1\}$、开集为 $\varnothing ,\{1\},X$ 的 Sierpiński 空间中，$\{1\}$ 已稠密；这说明稠密本身不包含 Hausdorff 分离条件。

设连续映射理路拓扑连续性Topological continuity · Continuous map目标开集的逆像始终开放，从而在不使用距离时表达映射不破坏局部邻近。 $f,g:X\to Y$ 的目标 $Y$ 为 Hausdorff理路Hausdorff 空间Hausdorff space · T2 space任意两个不同点都能放入互不相交开邻域的 T2 分离空间。，且它们在稠密子集 $D$ 上相同，则处处相同。若 $f(x)\ne g(x)$，可用不交开邻域分开这两个值；相应逆像的交是含 $x$ 的非空开集，必碰到 $D$，但交内两函数不可能相等，矛盾。

这个结论只保证连续延拓的唯一性，不保证存在。例如 $f(q)=1/(q-\sqrt{2})$ 在 $\mathbb{Q}$ 上连续，却不能连续延拓到全部实线。稠密性提供逼近点，延拓存在还需控制这些逼近值。

第二可数空间理路第二可数空间Second-countable space存在可数拓扑基的拓扑空间。可从每个非空基元素选一点得到可数稠密集。紧化理路紧化Compactification把空间同胚嵌入为某个紧 Hausdorff 空间的稠密子空间。则要求原空间稠密地嵌入紧空间，确保新加点能由原空间邻近，而非额外附上一块无关空间。