稠密子空间 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $X$ 是拓扑空间， $D\subseteq X$ 。若用闭包记号写成

\overline D=X,

则称 $D$ 在 $X$ 中稠密；赋予子空间拓扑后， $D$ 也称 $X$ 的稠密子空间。这等价于每个非空开集 $U\subseteq X$ 都与 $D$ 相交，也等价于每个点 $x\in X$ 的每个邻域都含有 $D$ 中的点。

稠密是相对于环境空间的性质。同一个集合在一个子空间中可以稠密，在更大空间中却未必稠密；因此声称稠密时必须写清闭包是在哪个空间中取得。

直觉

稠密不表示“点数很多”，而表示环境空间没有任何局部开口能完全避开它。从 $X$ 中任意一点放大观察，无论邻域缩得多小，总能遇到 $D$ 中的点。这使 $D$ 能作为逼近整个空间的骨架，却不要求 $D$ 本身包含任何开集。

例子与边界

$\mathbb Q$ 在 $\mathbb R$ 中稠密，因为每个非空开区间都含有有理数；无理数集也同样稠密。两个不交的集合可以同时稠密，这说明稠密不是测度大小或元素占比。反之，整数在实直线中不稠密，因为存在不含整数的小开区间。

在离散空间中，每个单点集都开，所以唯一稠密子集是全空间。在非 Hausdorff 空间中，一个很小的集合可能稠密；稠密本身不保证极限唯一，也不保证子空间与环境空间同胚。

推论与应用

若两个连续映射从 $X$ 到 Hausdorff 空间 $Y$ ，并且它们在 $X$ 的稠密子集上相等，则它们在全部 $X$ 上相等。这是“稠密集上的值唯一决定连续延拓”的核心。紧化要求原空间以稠密子空间的方式嵌入紧空间，从而保证新加点都是原空间可逼近的边界位置，而不是与原空间断开的多余成分。

参考资料

James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000，closure, dense subsets, and subspaces。
Stephen Willard, General Topology, Dover, 2004，dense sets and continuous extensions。