Portmanteau 定理

弱收敛用平滑探针观察质量，集合指标函数却会在边界突然跳跃。Portmanteau 定理精确描述这次从连续探针到硬边界事件时能保留多少信息：开集若含极限点，也含其足够近的邻点，所以极限的开集质量不能超过序列下极限；闭集则会在极限时接住贴近其边界的质量，所以只能控制序列的上极限。

若边界本身没有极限质量，两种歧义都消失。此时集合的内部和闭包在 $\mu$ 看来同样大，上下界夹成等式，事件概率真正收敛。因此“对所有集合概率收敛”不是弱收敛的正确表述，连续集才是它能稳定识别的最大自然类别。

半连续函数版本把同一几何推广到函数图像。下半连续函数不允许函数值在极限点突然向下掉，因而积分只能在下极限方向保住；上半连续函数的方向相反。

取 ${\mu }_n={\delta }_{1/n}$、$\mu ={\delta }_0$。已知 ${\mu }_n\Rightarrow \mu$。对闭集 $F=\{0\}$，

不等式成立却不是等号。集合 $A=(0,1]$ 满足 ${\mu }_n(A)=1$、$\mu (A)=0$，其边界含 $0$ 且 $\mu (\partial A)=1$，所以连续集结论不适用。这个例子说明单个边界点就足以破坏逐集收敛。

对开集 $G=(-1/2,1/2)$，${\mu }_n(G)$ 最终为 $1$，恰有

若误把开集方向写成上极限不超过，虽然此例碰巧不反驳，移动到边界外侧的质量就会暴露错误；方向应从“开集可能在极限中获得贴边质量”的图像记忆，而不是机械背诵。

条件 $\mu (\partial A)=0$ 只看极限测度，不要求每个 ${\mu }_n$ 都不给边界质量。反过来，即使所有 ${\mu }_n(\partial A)=0$，只要 $\mu$ 在边界上有质量，仍不能保证 ${\mu }_n(A)\to \mu (A)$。

定理也不把连续测试类扩大到任意可测或无界函数。弱收敛序列可以有不收敛的一阶矩；对无界下半连续函数，常见版本只给非负函数的扩展值下界，若要得到积分等式仍需一致可积性等额外条件。

闭集不等式可快速证明弱极限的支撑约束。若每个 ${\mu }_n$ 都集中在同一闭集 $F$，则 $1=\underset{n}{lim sup}{\mu }_n(F)\le \mu (F)$，所以极限也集中于 $F$。若约束集合不闭，这个结论可能失效，因为质量可以停在缺失的边界点上。

Portmanteau 定理是 Prokhorov 紧性理论的接口：紧集是闭集，因而弱收敛可控制其质量上界；对紧集的开邻域使用开集不等式，又能把极限测度的高质量核心传回序列。连续映射定理、经验分布收敛和随机过程有限维分布的极限识别也反复使用连续集版本。

在实线上，取 $A=(-\mathrm{\infty },x]$。其边界是 $\{x\}$，所以只要极限分布函数在 $x$ 连续，即 $\mu (\{x\})=0$，便有 $F_n(x)\to F(x)$。这正把一般度量空间的弱收敛还原为经典“分布函数在连续点收敛”的判据。