测度的弱收敛

弱收敛不试图逐点比较测度值，而是把每个有界连续函数当作一台分辨率有限的仪器。仪器给出的读数是质量加权平均 $\int fd\mu$；所有这类读数都趋于一致时，测度在拓扑可观察的尺度上收敛。

连续性阻止测试函数在相邻点间突然翻转，因此移动很短距离的原子可以被视为接近；有界性则阻止极少量、极遥远的质量被一个迅速增长的函数无限放大。这两项限制共同解释弱收敛为何比总变差收敛宽松，也为何它不自动控制矩或尾部。

弱收敛仍然保留总质量，因为常数测试函数不会忽略任何地方。vague 收敛删掉这个全局探测器，只看紧支撑窗口；一团质量不断向远方移动时，每个固定窗口最终都看不见它，于是可能“收敛到零”。

在 $\mathbb{R}$ 上，${\delta }_{1/n}\Rightarrow {\delta }_0$，因为每个 $f\in C_b(\mathbb{R})$ 都满足

然而两测度在总变差距离下始终相距 $1$：事件 $\{1/n\}$ 被前者赋值 $1$、后者赋值 $0$。弱收敛允许原子位置连续移动，总变差则允许用任意可测事件精确瞄准单点。

再令

对有界连续 $f$，

所以 ${\mu }_n\Rightarrow {\delta }_0$。但一阶矩恒为 $\int xd{\mu }_n=1$，并不趋于 $0$。函数 $x$ 连续却无界，不属于定义中的测试类；要交换无界函数积分还需一致可积性或矩控制。

令 ${\nu }_n={\delta }_n$。它对每个 $f\in C_c(\mathbb{R})$ 都满足 $\int fd{\nu }_n\to 0$，故 vague 收敛到零测度；却不可能作为概率测度弱收敛到零，因为常数函数给出的积分一直是 $1$。这个例子准确标出两种测试类的差别。

Portmanteau 定理把连续函数积分定义等价改写成开集的下极限不等式、闭集的上极限不等式，以及极限测度边界为零的集合上的测度收敛。它让抽象的“所有函数”条件可以用事件概率验证，同时解释为什么任意 Borel 集上的逐集收敛通常过强。

在 Polish 空间上，Prokhorov 定理用紧性刻画概率测度族的弱相对紧性；Skorokhod 表示定理则可在新的共同概率空间中，把弱收敛实现为几乎必然收敛。二者都需要明确空间正则性，不能只凭可测结构成立。

经验测度、中心极限定理、随机过程近似与生成模型的分布收敛都使用弱拓扑。连续映射定理也可直接由推前积分看出：若 $T:S\to Y$ 连续且 ${\mu }_n\Rightarrow \mu$，那么对任意 $g\in C_b(Y)$，$g\circ T\in C_b(S)$，于是 $T_{\mathrm{\#}}{\mu }_n\Rightarrow T_{\mathrm{\#}}\mu$。