Skorokhod 表示定理

形式陈述 ​

设 $S$ 是Polish 空间理路Polish 空间Polish space可分且可完全度量化的拓扑空间；用换度量、可数乘积和子空间例子区分拓扑性质与指定度量的完备性。，$d$ 为相容的完备度量，${\mu }_n,\mu$ 是 $S$ 上的 Borel 概率测度，并且

于测度的弱收敛理路测度的弱收敛Weak convergence of measures · Weak convergence of probability measures以所有有界连续测试函数的积分收敛来定义有限 Borel 测度的拓扑收敛。意义。Skorokhod 表示定理断言，存在某个共同概率空间 $({\mathrm{\Omega }}^{\prime },{\mathcal{F}}^{\prime },P^{\prime })$ 及其上的 $S$-值随机变量理路随机变量Random variable · Random element从概率空间到可测取值空间的可测映射；实值情形承载数值概率运算。 $Y_n,Y$，满足

这里的律就是把 $P^{\prime }$ 沿随机变量映射得到的推前测度理路推前测度Pushforward measure · Image measure · 像测度沿可测映射把源测度搬到目标空间，使目标集合的质量等于其原像的质量。。

并且

这里的路径极限是几乎必然收敛理路几乎必然收敛Almost sure convergence除去一个零概率事件后，随机变量序列逐样本收敛。。结论构造的是给定边缘分布的一种新耦合理路耦合法Coupling method · Probability coupling在共同概率空间中构造具有指定边缘的随机变量，并用它们相遇的概率比较分布。。它不声称原来承载这些分布的随机变量已经几乎必然收敛，也不保留原序列跨 $n$ 的联合依赖结构。

本页采用 Polish 空间上的经典版本。定理还存在“极限测度集中在可分子空间”等更一般形式，也存在 Jakubowski 型非度量推广，但它们需要另外的可分离测试函数与紧性假设；不能把经典结论直接写成任意拓扑空间版本。

反向则容易得多：若同一概率空间上 $Y_n\to Y$ 几乎必然，则对任意 $f\in C_b(S)$ 有 $f(Y_n)\to f(Y)$ 几乎必然且统一有界，控制收敛定理理路控制收敛定理Dominated convergence theorem几乎处处收敛且被同一可积函数控制时，可以交换极限与积分。给出 $E[f(Y_n)]\to E[f(Y)]$，所以 $\mathcal{L}(Y_n)\Rightarrow \mathcal{L}(Y)$。因此在允许重新选择耦合时，Polish 空间上的弱收敛可以由几乎必然收敛表示。

证明机制 ​

在实线上，可取同一个 $U\sim \mathrm{Unif}(0,1)$，令

其中 $F^{-1}(u)=inf\{x:F(x)\ge u\}$。弱收敛使分位函数在 $F^{-1}$ 的 Lebesgue 几乎处处连续点收敛，因此得到 $Y_n\to Y$ 几乎必然。

一般 Polish 空间没有全序。可分性提供逐层细化的可数 Borel 分割，使第 $k$ 层单元直径至多 $2^{-k}$，且边界都是 $\mu$-零集。对每个测度 $\nu \in \{\mu ,{\mu }_1,{\mu }_2,\dots \}$，按同一顺序把 $(0,1)$ 划成长度为各单元 $\nu$-质量的半开区间，并在每个父区间内按子单元质量继续划分。用同一个均匀变量 $U$ 选择各层区间；在对应单元中取代表点，嵌套性与直径界使它们成为 Cauchy 列，完备性给出极限随机变量。代表点的离散律随层级逼近 $\nu$，故该极限的律正是 $\nu$。

弱收敛使每个固定单元的 ${\mu }_n$-质量趋于其 $\mu$-质量，因此每个固定有限索引区间的左右端点也收敛。排除极限分割所有层的可数个区间端点后，对每个固定层 $k$，同一个 $U$ 在充分大的 $n$ 下选中相同单元；于是 $Y_n,Y$ 落在该单元的闭包内，最终有 $d(Y_n,Y)\le 2^{-k}$。这对所有 $k$ 在同一满测集上成立，得到整个序列几乎必然收敛。Whitt 的嵌套区间证明给出了这一构造。这里不要求不匹配概率对 $n$ 可求和；下文概率为 $1/n$ 的例子恰好说明该要求过强。