形式陈述

设 $f_n$$f_n$ 与 $f$$f$ 可测，$f_n\to f$$f_n\to f$ 几乎处处，并存在 $g\in L^1(\mu)$$g\in L^1(\mu )$ 使

$$ |f_n(x)|\le g(x)\quad\text{几乎处处且对所有 }n. $$$$|f_n(x)|\le g(x)\text{几乎处处且对所有 }n.$$

则 $f\in L^1$$f\in L^1$，并且

$$ \int_X|f_n-f|\,d\mu\to0, \qquad \int_X f_n\,d\mu\to\int_X f\,d\mu. $$$${\int }_X|f_n-f|d\mu \to 0,{\int }_X{f}_{n}d\mu \to {\int }_{X}fd\mu .$$

对复值函数同样成立。统一可积性可在更一般框架中替代逐点共同控制，但那是另一条定理。

直觉

共同可积包络既阻止质量逃向无穷远，也阻止局部尖峰积累；点态收敛因此能够升级为 $L^1$$L^1$ 收敛和积分收敛。

例子与边界

$f_n(x)=x^n$$f_n(x)=x^n$ 在 $[0,1]$$[0,1]$ 上 a.e. 趋于零且被 $1$$1$ 控制，所以积分趋于零。反例 $f_n=n1_{(0,1/n)}$$f_n=n{1}_{(0,1/n)}$ 点态 a.e. 趋于零而积分恒为一；任何共同控制函数都必须在零附近至少像 $1/x$$1/x$ 一样不可积。测度有限本身不能替代共同控制。若只知 $f_n$$f_n$ 有界于随 $n$$n$ 变化的 $g_n$$g_n$，还需额外证明这些控制具有统一可积性。

推论与应用

DCT 是积分号下取极限、期望连续性、参数积分求导和 Fourier 分析的标准工具；使用时应逐项核对可测性、a.e. 收敛和单一 $L^1$$L^1$ 包络。

参考资料

• Gerald B. Folland, Real Analysis, 2nd ed., Wiley, 1999，§2.3–2.4, dominated convergence and L1 convergence。
• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1987，Ch. 1, Lebesgue dominated convergence theorem。