几乎必然收敛

这里的量词顺序是先选样本 $\omega$，再要求整条数列 $X_n(\omega )$ 收敛；允许失败的样本集合必须一次性具有概率零。它因此是一种路径级结论，而不是每个时刻分别很少出错。即使每个坏事件概率都很小，坏样本随 $n$ 移动时仍可能让几乎每条路径无穷多次出错。

强大数律给出样本均值 a.s. 收敛。若 $X_n=1_{A_n}$ 且 $\sum _n\mathbb{P}(A_n)<\mathrm{\infty }$，第一 Borel–Cantelli 引理推出 $X_n\to 0$ a.s.。a.s. 收敛不意味着处处收敛，零概率异常路径可以存在；也不自动推出期望收敛，例如 $X_n=n{1}_{(0,1/n)}$ 在 $[0,1]$ 上 a.s. 趋零而期望恒为一。不同版本变量若不在同一概率空间，a.s. 收敛没有直接意义。

在 $[0,1]$ 上依次把所有二进小区间按层枚举，并令 $X_n$ 为当前区间的指标函数，可以做到 $P(X_n=1)\to 0$，却让每个非二进端点落入无穷多个所枚举区间；这展示依概率趋零未必几乎必然趋零。相反，若坏事件概率可求和，Borel–Cantelli 引理公理库Borel–Cantelli 引理Borel–Cantelli lemmas由事件概率级数的收敛或在独立条件下的发散判断无限多事件发生概率。会排除无穷多次发生。

几乎必然收敛会推出依概率收敛，但要把极限穿过积分还需控制收敛定理公理库控制收敛定理Dominated convergence theorem几乎处处收敛且被同一可积函数控制时，可以交换极限与积分。等一致可积控制。强大数律公理库强大数定律Law of large numbers · Strong law of large numbers · SLLN独立同分布且可积时，样本均值沿几乎每条无限样本路径收敛到共同期望。把样本平均的路径稳定性表达为这一模式；随机算法中，它也常用来说明“以概率一最终稳定”，而不是给定有限时刻的失败概率。

估计量若在共同无限样本空间上几乎必然趋于目标，就称强一致公理库估计量的一致性Consistency of estimators · Consistent estimator估计误差随实验规模增长而消失的点态、统一、弱与强收敛性质及其证明边界。；它比逐样本量的依概率一致更强。三角阵列、变化实验或自适应设计未必共享同一条样本路径，陈述强一致前必须先给出跨 $n$ 的联合构造。

因为结论逐条控制样本路径，它也适合表述随机过程公理库随机过程Stochastic process · Random process由同一随机实验产生、按时间或空间指标组织的一族随机变量。的长期轨道性质。鞅公理库鞅Martingale · Submartingale · Supermartingale在当前全部信息下，下一步条件均值等于当前值的可积适应过程。在一致可积、$L^p$ 有界等适当条件下可由收敛定理得到几乎必然极限；但“路径最终收敛”本身仍不自动给出收敛速度，也不保证极限具有有限期望。