Borel–Cantelli 引理

用指示变量记录每次是否命中，$N(\omega )=\sum _n{\mathbf{1}}_{A_n}(\omega )$ 就是总发生次数，允许取 $\mathrm{\infty }$。非负项的积分交换给出

所以第一引理也可以理解为：一个非负计数若期望理路期望Expectation · Expected value实值或复值随机变量关于概率测度的 Lebesgue 积分，概括加权平均与总体质量平衡。有限，就不可能以正概率取无穷大。第二引理却不能只从期望发散推出；无限期望可能由稀少但很大的计数造成，不代表每条样本路径都发生无限次。

独立性补充的不是“每次概率都很大”，而是多次都没命中的概率可以相乘。只要尾部累计的机会量无界，每一段无限长的尾部都几乎不可能永远错过。

第一引理：把无限重现放进每一个尾并集 ​

对任意 $N$，可数次并集界理路并集界Union bound · Boole 不等式多个坏事件中至少一个发生的概率，不超过各事件概率之和。给出

收敛级数的尾和趋零，所以左边只能是零。整个证明没有把任何联合概率写成乘积，因而不需要独立性。

第二引理：无限尾部不可能永远落空 ​

固定 $N$。相互独立时，对 $M\ge N$，

尾部概率和也发散，故令 $M\to \mathrm{\infty }$，由概率从上连续性得到“从 $N$ 起再不发生”的概率为零。最后对所有正整数 $N$ 作可数并，便排除了“从某时刻起永远不再发生”；其补事件就是无限多次发生。

同样的单次概率，不同的依赖结构 ​

取一个在 $(0,1)$ 上均匀分布的 $U$，令 $A_n=\{U<1/n\}$。每个事件的概率都是 $1/n$，总和发散；但对每个固定 $U>0$，只要 $n>1/U$，事件便永远不再发生。因此这里的无限重现概率为零。

在共同 $U$ 的模型中，总次数处处有限，期望却为 $\sum _{n}1/n=\mathrm{\infty }$；$U$ 越接近零，可能发生的次数越多。因此第一引理的逆命题不成立，“几乎必然有限次”也不保证存在一个适用于所有样本的固定次数上界。

改用相互独立的 $U_n\sim \mathrm{Unif}(0,1)$，令 $B_n=\{U_n<1/n\}$。边缘概率仍为 $1/n$，但第二引理现在给出 $\mathbb{P}(B_n\mathrm{i}.\mathrm{o}.)=1$。两组事件的差别完全在依赖结构，而不是单次概率。

若阈值换成 $1/n^2$，概率和收敛，第一引理保证只发生有限次；无论这些均匀变量彼此独立还是全部相同，这个结论都成立。

“无限次”不同于“最终每次” ​

“从某个时刻起每次都发生”对应

比 $lim sup$ 更强。独立掷公平硬币时，正面事件会无限次发生，反面事件也会无限次发生，因此不可能最终只出现正面。Borel–Cantelli 本身也不提供命中的正密度或平均频率。

完全重复同一个概率介于零和一的事件，则 $lim sup{A}_n=A$。这说明没有依赖限制时，即使概率和发散，无限重现的概率也可以落在 $(0,1)$，并非自动服从零一结论。

两两独立为何也够 ​

设 $S_{N,M}=\sum _{n=N}^M{\mathbf{1}}_{A_n}$，其均值为 $m_{N,M}$。两两独立使不同指示变量的协方差为零，故 $\mathrm{Var}(S_{N,M})\le m_{N,M}$。当 $m_{N,M}>0$ 时，由 Chebyshev 不等式，

发散时右边趋零，再沿用上面的尾部论证即可。这一扩展使用Chebyshev 不等式理路Chebyshev 不等式Chebyshev's inequality随机变量偏离均值至少给定距离的概率由方差除以距离平方控制。；不能在只给两两独立的情况下继续把所有补事件概率相乘。

从可求和的偏差得到几乎必然收敛 ​

用第一引理证明 $X_n\to X$ 几乎必然理路几乎必然收敛Almost sure convergence除去一个零概率事件后，随机变量序列逐样本收敛。的一条常用充分条件是：对每个 $\epsilon >0$ 验证

实际上只需验证 $\epsilon =1,1/2,1/3,\dots$。对每个正整数 $m$，第一引理给出一个概率一事件，使误差大于 $1/m$ 的情况只发生有限次；这些概率一事件的可数交仍有概率一。在交集上，任给精度都能选足够大的 $m$，然后越过对应的有限异常前缀。

仅为一个固定的 $\epsilon$ 证明可求和，只能保证最终进入这一宽度的误差带，不能推出误差趋零。这里的量词是收敛结论不可省略的一部分。

依概率收敛为什么能选出更好的子列 ​

若 $X_n\to X$ 依概率理路依概率收敛Convergence in probability随机变量偏离极限超过任意正阈值的概率趋于零。，依次选取严格递增的 $n_k$，使

第一引理保证这些偏差事件只发生有限次，于是在概率一的样本路径上，最终 $|X_{n_k}-X|\le 1/k$，故子列几乎必然收敛。这证明的是可以选出这样的子列，并未把原序列的依概率收敛升级为几乎必然收敛。

强大数律理路强大数定律Law of large numbers · Strong law of large numbers · SLLN独立同分布且可积时，样本均值沿几乎每条无限样本路径收敛到共同期望。证明中的一类常见策略，正是先用偏差估计得到可求和的尾概率，再用第一引理控制样本路径；需要无限重现时，则寻找独立的尝试或可使用上述二阶矩估计的结构。

独立公平抛硬币中的固定有限模式也可用第二引理处理：把时间切成与模式等长的不重叠块，每块恰好匹配的概率是同一个正数，且各块独立。因此模式几乎必然出现无穷多次。重叠窗口本身可能依赖，改用不重叠块便避开了这一障碍。