形式陈述

对事件列 $(A_n)$$(A_n)$，记

$$ \limsup_{n\to\infty}A_n =\bigcap_{N=1}^{\infty}\bigcup_{n\ge N}A_n, $$$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{A}_n=\bigcap _{N=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{n\ge N}{A}_n,$$

即无限多个 $A_n$$A_n$ 发生的事件。第一 Borel–Cantelli 引理称，若 $\sum_n\mathbb P(A_n)<\infty$$\sum _n\mathbb{P}(A_n)<\mathrm{\infty }$，则

$$ \mathbb P(A_n\ \text{i.o.})=0, $$$$\mathbb{P}(A_n\text{i.o.})=0,$$

无需独立性。第二引理称，若事件相互独立且 $\sum_n\mathbb P(A_n)=\infty$$\sum _n\mathbb{P}(A_n)=\mathrm{\infty }$，则

$$ \mathbb P(A_n\ \text{i.o.})=1. $$$$\mathbb{P}(A_n\text{i.o.})=1.$$

独立性可由某些弱依赖条件替代，但发散本身不够。

直觉

概率总和有限时，事件没有足够总质量无限反复出现；总和发散且事件不断获得独立机会时，最终会无限多次命中。

例子与边界

若 $\mathbb P(A_n)=2^{-n}$$\mathbb{P}(A_n)=2^{-n}$，第一引理保证只发生有限次。若独立且 $\mathbb P(A_n)=1/n$$\mathbb{P}(A_n)=1/n$，第二引理保证无限多次发生。没有独立性时令所有 $A_n=A$$A_n=A$ 且 $0<\mathbb P(A)<1$$0<\mathbb{P}(A)<1$，概率和发散，但无限发生事件就是 $A$$A$，概率并非一。第一引理的逆也不成立：高度依赖事件可在概率和发散时仍只有限次发生。结论谈的是 i.o，不等于“从某时起每次都发生”。

推论与应用

Borel–Cantelli 把概率级数转为路径级长期结论，用于证明几乎必然收敛、随机数逼近、极值事件和强大数律中的异常次数控制。

参考资料

• Patrick Billingsley, Probability and Measure, 3rd ed., Wiley, 1995，Ch. 1, Borel–Cantelli lemmas。
• Rick Durrett, Probability: Theory and Examples, 5th ed., Cambridge University Press, 2019，Ch. 2, Borel–Cantelli and almost sure events。