Fourier 变换

形式陈述 ​

本库采用 $2\pi$ 位于指数中的归一化。对 $f\in L^1({\mathbb{R}}^d)$，定义

$$\hat{f}(\xi )={\int }_{{\mathbb{R}}^d}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \xi }dx.$$

此时 $\hat{f}$ 有界、连续，并在 $|\xi |\to \mathrm{\infty }$ 时趋于零。若相关积分与换序条件成立，基本运算规则为

$$\widehat{f\ast g}=\hat{f}\hat{g},\widehat{f(\cdot -a)}(\xi )=e^{-2\pi ia\cdot \xi }\hat{f}(\xi ),$$$$\widehat{e^{2\pi ib\cdot x}f(x)}(\xi )=\hat{f}(\xi -b),\widehat{{\partial }_{j}f}(\xi )=2\pi i{\xi }_j\hat{f}(\xi ).$$

若 $f$ 与 $\hat{f}$ 都可积，则在适当点（例如 $f$ 连续处）有逆变换

$$f(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^d}\hat{f}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\xi .$$

对一般 $L^2$ 函数，变换不由逐点绝对收敛积分定义，而由Plancherel 定理公理库Plancherel 定理Plancherel theoremFourier 变换从稠密子空间唯一延拓为 L² 上保持内积与范数的酉算子。延拓。

直觉 ​

Fourier 变换询问一个函数与每个纯频率 $e^{2\pi ix\cdot \xi }$ 的相关程度。非周期空间没有整数频率格，频率参数因此连续。平移在频域只改变相位，微分成为乘法，卷积也成为逐点乘法；这正是频域能把许多全局相互作用“对角化”的原因。

它不是把时域信息粗略压成一张频谱图。复数相位保留平移与结构位置，逆变换在满足条件时能够重建原函数。丢弃相位或截断频率才是额外的信息损失操作。

例子与边界 ​

在本页约定下，Gaussian $f(x)=e^{-\pi |x{|}^2}$ 满足 $\hat{f}(\xi )=e^{-\pi |\xi {|}^2}$。它展示空间扩散与频率集中之间的平衡，也说明某些函数族在变换下保持形状。

$f\in L^1$ 只保证 $\hat{f}$ 连续且趋零，不保证 $\hat{f}\in L^1$，所以不能无条件把逆变换写成逐点普通积分。常数函数和纯指数也不属于 $L^1({\mathbb{R}}^d)$，需要分布理论才能把它们的变换理解为点质量；本页不把这种推广混入基础定义。有限序列上的 DFT 产生周期性的离散频率，并对应循环卷积，不是这里的实空间积分变换。

推论与应用 ​

卷积公理库卷积Convolution · 卷积运算在加法群上把两份测度按加法映射推前，汇总所有可合成为同一输出的输入贡献。定理使滤波、概率独立和与线性平移不变系统在频域中化为乘法。偏微分方程中，空间导数变成多项式乘子，方程可按频率求解；概率论中的特征函数则是采用另一符号约定的概率测度 Fourier 变换。

Fourier 级数公理库Fourier 级数Fourier series · 傅里叶级数把周期函数投影到整数频率的正交指数基上所得的离散频谱展开。处理周期函数的离散频谱，Plancherel 定理公理库Plancherel 定理Plancherel theoremFourier 变换从稠密子空间唯一延拓为 L² 上保持内积与范数的酉算子。保证 $L^2$ 能量在连续频域中保持。FFT公理库快速 Fourier 变换Fast Fourier transform · FFT利用单位根的偶奇分解在 $O(n\log n)$ 时间计算离散 Fourier 变换。高效计算有限 DFT，不能代替连续变换的定义域与收敛条件。

参考资料

• Elias M. Stein and Rami Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction, Princeton University Press, 2003，Chs. 1–3, Fourier transform and inversion。
• Gerald B. Folland, Real Analysis, 2nd ed., Wiley, 1999，Ch. 8, the Fourier transform on Euclidean space。