卷积

形式陈述 ​

设 $G$ 是可测 Abel 群，加法映射 $s:G\times G\to G$ 定义为 $s(x,y)=x+y$。两个有限测度 $\mu ,\nu$ 的卷积，是乘积测度经 $s$ 推前所得的测度

$$\mu \ast \nu =s_{\mathrm{\#}}(\mu \otimes \nu ),$$

也就是对每个可测集 $A\subseteq G$，

$$(\mu \ast \nu )(A)={\int }_G{\int }_G{\mathbf{1}}_A(x+y)\mu (dx)\nu (dy).$$

若 $\mu ,\nu$ 是概率测度，$\mu \ast \nu$ 仍是概率测度；若独立随机变量 $X\sim \mu$、$Y\sim \nu$，则 $X+Y\sim \mu \ast \nu$。加法的结合律使测度卷积结合，交换性使它交换。Dirac 测度 ${\delta }_0$ 是单位元，因为把任何点与 $0$ 相加都不改变它。

这一定义是共同源头，而不是把序列求和与函数积分同时写成两项硬前置。取离散群及计数测度会得到离散卷积公理库离散卷积Discrete convolution · Sequence convolution对所有下标分解求和得到序列、概率质量函数或多项式系数的卷积。；取 ${\mathbb{R}}^d$ 及 Lebesgue 测度，并让测度具有密度，则得到连续函数卷积公理库连续函数卷积Continuous convolution · Function convolution在欧氏空间中以平移乘积的 Lebesgue 积分定义函数卷积。。

直觉 ​

固定一个输出 $z$，卷积收集所有分解 $z=x+y$ 的贡献。概率语言把它看成两个独立量相加后的分布；信号语言把它看成一个输入经过所有平移核的叠加；组合语言把它看成“形成总量 $z$ 有多少种拆法”。共同图像来自底层加法与汇总，而不是来自某一种求和或积分符号。

卷积因此不是逐点乘法。逐点乘法只比较相同位置的两个值；卷积让一个输入滑过另一个输入，每个输出位置都汇总一整族匹配。Fourier 变换把平移结构对角化后，卷积才转成逐点乘法。

例子与边界 ​

两枚公平六面骰子的点数分布各在 $\{1,\dots ,6\}$ 上取质量 $1/6$。卷积后，和为 $s$ 的概率等于满足 $i+j=s$ 的有序点数对数量除以 $36$，因此从 $2$ 到 $7$ 依次为 $1/36,2/36,\dots ,6/36$，随后对称下降。三角形轮廓不是额外假设，而是不同输出拥有不同数量分解的直接结果。

定义需要加法映射可测，以及足以让乘积测度与推前成立的条件。对符号测度、非有限测度或函数卷积，绝对收敛与 Tonelli–Fubini 条件不能省略。非交换群上还必须区分左、右约定；偏序集关联代数也有称为卷积的区间求和，但其合成对象与此处群加法不同。

推论与应用 ​

概率分布卷积描述独立和，离散卷积连接普通生成函数与多项式乘法，连续卷积连接平移不变系统、平滑核和偏微分方程基本解。三条路线共享“合成后推前”的结构，却各自承担不同的收敛、支撑和边界条件；具体计算应进入对应特例页，而不是把替代环境写成同时必需。

参考资料

• Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed., Wiley, 1999，convolution on locally compact groups。
• Elias M. Stein and Rami Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction, Princeton University Press, 2003，convolution and Fourier transform。