卷积

形式陈述 ​

设 $G$ 是配有 $\sigma$-代数的Abel 群理路阿贝尔群Abelian group · Commutative group运算还满足交换律的群，通常用加法记号表达其叠加结构。，且加法映射 $s:G\times G\to G$、$s(x,y)=x+y$ 可测。两个有限测度 $\mu ,\nu$ 的卷积，是乘积测度理路乘积测度Product measure在乘积 σ-代数上把可测矩形的测度规定为边测度乘积的测度。经 $s$ 推前所得的测度

也就是对每个可测集 $A\subseteq G$，

若 $\mu ,\nu$ 是概率测度，$\mu \ast \nu$ 仍是概率测度；若独立随机变量 $X\sim \mu$、$Y\sim \nu$，则 $X+Y\sim \mu \ast \nu$。加法的结合律使测度卷积结合，交换性使它交换。Dirac 测度 ${\delta }_0$ 是单位元，因为把任何点与 $0$ 相加都不改变它。

在离散群上，把单点质量记为序列，就得到离散卷积理路离散卷积Discrete convolution · Sequence convolution对所有下标分解求和得到序列、概率质量函数或多项式系数的卷积。的求和公式。在 ${\mathbb{R}}^d$ 上，若两份测度相对于 Lebesgue 测度有密度 $f,g$，其卷积的密度则为 $\int f(y)g(x-y)dy$，得到连续函数卷积理路连续函数卷积Continuous convolution · Function convolution在欧氏空间中以平移乘积的 Lebesgue 积分定义函数卷积。。

有符号与复数权重 ​

有限有符号测度和有限复测度也可卷积。这里“有限”要求总变差有限：$\Vert \mu {\Vert }_{\mathrm{TV}}=|\mu |(G)<\mathrm{\infty }$。 对可测集 $A$，$|\mu |(A)$ 是所有有限可测分割 $A=\underset{j}{⨆}{A}_j$ 上 $\sum _j|\mu (A_j)|$ 的上确界。把实部、虚部分别写成两个有限正测度之差，对这些正测度使用前面的乘积与推前，再按双线性相加。对任意有界可测函数 $\psi$，所得测度满足

被积函数的绝对积分由 $\Vert \psi {\Vert }_{\mathrm{\infty }}\Vert \mu {\Vert }_{\mathrm{TV}}\Vert \nu {\Vert }_{\mathrm{TV}}$ 控制，因此Fubini 定理理路Fubini 定理Fubini's theorem在适当可积条件下，多重积分等于任意次序的迭代积分。适用；右侧只依赖测度本身，不依赖所选正负分解。对可测集的有限分割逐项使用积分三角不等式，还得到

于是定义、交换律与结合律都保留下来，概率解释则仍须权重非负且总质量为一。在整数群上，绝对可和的复数列对应有限复测度 $\mu =\sum _k{a}_k{\delta }_k$；卷积在单点 $n$ 的质量正是 $\sum _k{a}_k{b}_{n-k}$。在 ${\mathbb{R}}^d$ 上，$f,g\in L^1$ 对应有限复测度 $fdx,gdx$，其卷积密度就是函数卷积。这同时覆盖了有正负号的信号和复数 Fourier 系数，而不把它们冒充概率质量。