特征函数（概率）

特征函数把分布搬进 Fourier 世界。独立随机变量之和的分布是卷积公理库卷积Convolution · 卷积运算在加法群上把两份测度按加法映射推前，汇总所有可合成为同一输出的输入贡献。；变换之后卷积成为逐点乘法，“许多独立变量相加”也就成为“许多函数相乘”。其次，它是分布的无损编码：不同分布有不同的特征函数，而且弱收敛对应特征函数的逐点收敛（Lévy 连续性定理），把抽象的分布收敛转成函数极限。与矩母函数相比，它用 $e^{itX}$ 替代 $e^{tX}$：模长恒为一，不放大尾部，因此对一切分布存在。矩的信息则藏在原点：若 $\mathbb{E}|X{|}^k<\mathrm{\infty }$，则 ${\phi }_X^{(k)}(0)=i^k\mathbb{E}[X^k]$。

概率特征函数 ${\phi }_X(t)=\mathbb{E}[e^{itX}]$ 是分布的 Fourier 变换。复指数始终模长为一，所以对任意随机变量都存在，不像矩母函数可能在零附近就发散。它把独立随机变量之和转成函数乘积，并且唯一决定分布。

正态分布公理库正态分布Normal distribution · Gaussian distribution · 高斯分布具有指数平方密度、在仿射变换与独立求和下封闭的概率分布族。 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的特征函数是 $\exp (i\mu t-{\sigma }^2{t}^2/2)$；两个独立正态相加时指数相加，立即得出“独立正态之和仍是正态”。Bernoulli$(p)$ 的特征函数为 $1-p+p{e}^{it}$，$n$ 个独立同参数因子相乘得 $(1-p+p{e}^{it}{)}^n$，正是二项分布公理库二项分布Binomial distribution固定次数独立同概率 Bernoulli 试验中成功总数的离散分布。的特征函数——一行代数替代了繁琐的卷积计算。

标准 Cauchy 分布给出 $\phi (t)=e^{-|t|}$：这个分布连期望都不存在，特征函数照样良好定义；而它的矩母函数公理库矩母函数Moment-generating function · MGF在存在邻域内以 E[e^{tX}] 编码随机变量各阶矩的函数。在任何 $t\ne 0$ 处都发散。细看还能读出信息：$e^{-|t|}$ 在原点不可导，恰好对应一阶矩不存在——原点处的光滑程度反映尾部的轻重。

边界警告：乘法公式不可反推独立性。取 $X$ 为标准 Cauchy、$Y=X$，则 $X+Y=2X$ 的特征函数为 $e^{-2|t|}={\phi }_X(t{)}^2$，满足乘法关系，但 $Y$ 与 $X$ 完全相依。此外特征函数虽一致连续，却未必可积或可导，由它恢复分布的反演公式需要按情形处理。

特征函数是概率极限理论的主力工具。Lévy 连续性定理把依分布收敛公理库依分布收敛Convergence in distribution · Weak convergence分布函数在极限分布连续点处收敛的随机变量收敛概念。翻译成特征函数的逐点收敛（要求极限函数在零点连续），于是中心极限定理公理库中心极限定理Central limit theorem适当归一化的独立随机变量和在分布上趋于正态分布。的经典证明只是对每个因子做二阶展开再取极限；稳定分布与无穷可分分布（Lévy–Khinchine 表示）完全用特征函数分类。计算层面，线性变换服从 ${\phi }_{aX+b}(t)=e^{ibt}{\phi }_X(at)$，独立和化为乘积，使许多分布恒等式退化为代数验证。放到更大的版图上，特征函数就是概率测度的 Fourier 变换，与调和分析共享反演公式与整套工具箱。