特征函数（概率）

对每个频率 $t$，$e^{itX}$ 把样本值映到单位圆，再对这些方向取平均。不同频率探测分布的不同变化尺度。模长恒为一，尾部样本也只贡献一个单位长度的复数，因此期望总存在。

独立和的分布是卷积理路卷积Convolution · 卷积运算在加法群上把两份测度按加法映射推前，汇总所有可合成为同一输出的输入贡献。，特征函数把它变为逐点乘法。线性变换也有直接规则：${\phi }_{aX+b}(t)=e^{ibt}{\phi }_X(at)$，平移改变相位，缩放改变频率参数。

正态分布理路正态分布Normal distribution · Gaussian distribution · 高斯分布具有指数平方密度、在仿射变换与独立求和下封闭的概率分布族。 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的特征函数是 $\exp (i\mu t-{\sigma }^2{t}^2/2)$；两个独立正态相加时指数相加，立即得出“独立正态之和仍是正态”。Bernoulli$(p)$ 的特征函数为 $1-p+p{e}^{it}$，$n$ 个独立同参数因子相乘得 $(1-p+p{e}^{it}{)}^n$，正是二项分布理路二项分布Binomial distribution固定次数独立同概率 Bernoulli 试验中成功总数的离散分布。的特征函数。

标准 Cauchy 分布有 $\phi (t)=e^{-|t|}$。它没有有限一阶绝对矩，矩母函数理路矩母函数Moment-generating function · MGF在存在邻域内以 E[e^{tX}] 编码随机变量各阶矩的函数。在每个 $t\ne 0$ 处发散，特征函数却仍完整存在。这一例子的特征函数在零点不可导；一般地，若 $\mathbb{E}|X{|}^k<\mathrm{\infty }$，则可对期望逐次求导，得到 ${\phi }_X^{(k)}(0)=i^k\mathbb{E}[X^k]$。

乘法关系本身可能由依赖变量满足。令 $X$ 为标准 Cauchy，$Y=X$，则 ${\phi }_{X+Y}(t)={\phi }_{2X}(t)=e^{-2|t|}={\phi }_X(t){\phi }_Y(t)$，但两变量完全相依。判断独立性所需的是联合特征函数对所有参数的因子化：$\mathbb{E}{e}^{i(sX+tY)}={\phi }_X(s){\phi }_Y(t)$；只看 $s=t$ 的和分布不足以确定全部联合结构。

Lévy 连续性定理把依分布收敛理路依分布收敛Convergence in distribution · Weak convergence分布函数在极限分布连续点处收敛的随机变量收敛概念。转为函数极限：依分布收敛蕴含特征函数逐点收敛；反过来，若一列特征函数逐点趋于 $\phi$，且 $\phi$ 在零点连续，则它是某个分布的特征函数，原分布列收敛到该分布。

对均值为零、方差为一的变量，特征函数在零点展开为 $1-t^2/2+o(t^2)$。独立同分布样本的标准化和因而有特征函数 $[{\phi }_X(t/\sqrt{n}){]}^n\to e^{-t^2/2}$，再由连续性定理得到中心极限定理理路中心极限定理Central limit theorem适当归一化的独立随机变量和在分布上趋于正态分布。。这里二阶矩提供展开，独立性提供乘积，连续性定理完成从函数极限到分布极限的转换。