形式陈述

实随机变量 $X$ 的特征函数定义为

$${\phi }_X(t)=\mathbb{E}[e^{itX}],t\in \mathbb{R}.$$

它总是存在，满足 ${\phi }_X(0)=1$、连续且正定，并唯一决定 $X$ 的分布。若 $X,Y$ 独立，则

$${\phi }_{X+Y}(t)={\phi }_X(t){\phi }_Y(t).$$

直觉

卷积在 Fourier 域变成乘法，因此随机变量之和的分布可被转化为函数乘法。

例子与边界

正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的特征函数是 $\exp (i\mu t-{\sigma }^2{t}^2/2)$。特征函数总存在，而矩母函数可能在零附近也发散。

推论与应用

它用于分布唯一性、弱收敛、中心极限定理、稳定分布和独立和的计算。

参考资料

• Joseph K. Blitzstein, Jessica Hwang, Introduction to Probability / Harvard Stat 110 (2019/2026 site), characteristic functions.
• Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed. (1999), Fourier transforms of measures.